Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что условие кластерности в теореме 4.3.33 влечет эргодичность со, в силу теорем 4.3.17 и 4.3.23. Кроме того, если вектор — отделяющий для ям (21)", то кластерное свойство эквивалентно эргодичности по теоремам 4.3.20 и 4.3.23. Отметим еще, что если кластерное свойство будет обладать несколько большей равномерностью, например если
inf | ш (5т, (Л') С) ~со(Л)со(БС)| =0
Л' ? Со vi (Л)
428
4. Теория разложения
при всех А, В, С ? 91 равномерно по t ? G, то, как легко убедиться, inf | ш (В [Ль Л2]С) [ = О
А' ? Со vt (Aj
при всех А], Л2, С ? 91. Поэтому пара (91, со) оказывается Gp-абелевой и применимы результаты теоремы 4.3.31, относящиеся к точечному спектру. Рассмотрим конкретный пример такого рода.
Пример 4.3.34. Пусть G = R и ш — такое R-эргодическое состояние, что 11—> Ua (t) сильно непрерывно и
1 т
lim -1. Г dt\a(B[xt(Ad, Аг\ С) | = 0. г^оо 2Т J — Г
Тогда пара (Я, со) будет Gr-абелевой, а из теоремы 4.3.17 и примера 4.3.5 следует, что
1 т
Пт 2jr j dt ш (Bxt (Л) С) = со (Л) со (ВС).
—т
Поэтому, согласно теоремам 4.3.31 и 4.3.33, спектр сгр (Ua) образует замкнутую подгруппу в R, a a (Ua) является замкнутым аддитивным подмножеством в R. Прежде всего, имеется такая возможность:
(1) a (UJ с [0, оо) или a (f/Jc (— оо, 0] и 0Р (t/J = {0}.
Далее остаются две возможности: либо все точки в 0 (Ua) изолированы, либо нет; в первом из этих случаев 0-((/ш) = 0Р (UJ и, следовательно,
(2) 0(?/ш) = {0} или 0 (С/ш)^изоморфен Z; в обеих ситуациях яш (91)"— максимальная абелева алгебра.
В последнем оставшемся случае найдутся такие а, Ь > 0, что а, —b ?
? 0 (t/ffl) и одна из точек, скажем а, не изолирована в 0((/т). (Если точка 0
не является изолированной, требуется незначительное изменение в рассуждениях.) Вследствие аддитивности получаем при всех m, п ? Z+
та — nb € 0 (Ua).
Если а и Ь несоизмеримы, то 0 (Ua) —'плотное подмножество в R, так что
0 Ш = R. Если же а и Ь соизмеримы, то при некоторых положительных т, п ? Z имеем та — nb = с. Эта точка с = та не изолирована, и ±с ? ст (Ua). Тогда 0 не будет изолированной точкой, поэтому а(С/ш) содержит по крайней мере один из полуинтервалов ±[0, оо). Благодаря аддитивности, ст (Ua) = R, так что третья возможность такова:
(3) ст (UJ = R и либо 0Р (C/щ) — {0}, либо сгр (Ua) изоморфен Z, либо ffp (^<о) — плотная подгруппа в R.
Укажем еще, что в случае (1) из теоремы Борхерса — Арвесона (теоремы
3.2.46) следует, что Ua (R) s яю (Щ". Таким образом, эргодичность, которая эквивалентна свойству
(Я)' п ^и(к)'-аш,
приводит к равенству яи (91)' =С1Ш, или яш (91)" =2’ (фш). Более общим образом, можно доказать, что яи (Щ)" является алгеброй фон Неймана типа III тогда и только тогда, когда сужение соп на я^ (&)' не является следовым состоянием
0)
(см. замечания и комментарии).
Мы завершим этот пункт описанием метода выделения точечного спектра унитарной группы и критерия сводимости сгр (<УЮ)
4.3. Инвариантные состояния
429
к единственной точке {0|. Начнем с того, что эргодическую теорему можно переформулировать в виде следующего на вид довольно сильно отличающегося от нее утверждения.
Лемма 4.3.35. Пусть U — сильно непрерывное унитарное представление локально-компактной абелевой группы G, действующее в гильбертовом пространстве §, и пусть М — инвариантное среднее на Сь (G). Тогда
М (| (ф, U|2) = | (ф, /4yH)|2
v6Vy>
при всех ф, 1|) (j ¦<р, где Р — спектральный проектор, а сгр (U) — точечный спектр U (G).
Доказательство. Пусть ф обозначает пространство, сопряженное к § (см. подстрочное примечание на стр. 78) и ф = ® ?>• Каждому Ф 6 ф сопоставим Ф = Ф ® Ф С |>. Введем еще U на ф, полагая U (t) ф = U (t)* ф,
и определим U = U ® U*. Имеем
(ф, U (0 $)=(ф, U (0 г|з) (ф, U (0* ^)= (ф, U (0 г|з) (ф, U (t) i|>) =
= I (ф> U (О 'Ф) I2-
Кроме того,
U (0 ф ® гр = j dP (Yi) ф ® j dP (y2) г|> (ViVi1. 0.
поэтому проекторнозначная мера Я, ассоциированная с U, удовлетворяет соотношению
dP (У) = j dP (Yi) ® dP (Y_1Yi)-Воспользовавшись тем, что свертка дискретной меры с непрерывной непрерывна,
/\ А /ч
легко получить, что проектор Е на подпространство в ф, образованное ?У-ин-
вариантными векторами, имеет вид
Е = Е Р [Y] ® Р [V]-
v6CTP (а)
Поэтому
(qj, ?$) = ? (ф, Р [у] г|)) (Ф, Р [Y] $) =*
V6cp
