Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
t 6 Gh->h(tДШг) почти-периодична при всех flt f2 ? С (?щ), то носитель меры ц содержится в слабом* замыкании Ещ}а) выпуклого множества <0) почти-периодических состояний. Если к тому же ц максимальна, то она псевдососредоточена на <S а если со содержится в гра-
442
4. Теория разложения
ни F, удовлетворяющей условию сепарабельности S, то ц сосредоточена на &
Если коммутант {л(0 (9t) U Р&)' абелев, то МЬ) (Е^(С)) содержит единственную максимальную меру. Обратно, если Ма (?'щ(0)) содержит единственную максимальную меру со свойством И (^ (Л) /а) € л (G) при всех flt /2 ? С(%), то {л(0 (91) U Ра)’ абелев. В обоих случаях ц оказывается ортогональной мерой, соответствующей {яЙ (91) U Р&\'.
Доказательство. Доказательство проводится по аналогии с доказательствами предложений 4.3.2 и 4.3.3, только условие инвариантности заменяется условием почти-периодичности. Первое утверждение устанавливается простым повторением соображений, использованных в случае предложения 4.3.2, но для второго утверждения требуется незначительное изменение в рассуждениях. Сначала рассмотрим меру V ? Ма (Е^в’>) с конечным носителем в
тогда с помощью выкладок, проведенных в доказательстве предложения 4.3.40, приходим к включению
К (Я; / € С(?Я)е{Я1Й(Я)и РаУ-
Здесь важно, чтобы v (т (Д) /2) ? А (G), но это следует из предположений о носителе V. Если же коммутант {яш (8t) (J Ра}' абелев, то он определяет ортогональную меру ]х на Е^, согласно предложению 4.3.40, и эта мера удовлетворяет
условию почти-периодичности ]х (т (Д) /2) ? A (G). Следовательно, повторив доказательство импликации (2) => (1) из теоремы 4.2.4, получим соотношение ]х у- V. Но меры из МШ(Е^ с конечным носителем в Е^0'* слабо* плотны,
поэтому ц y-v при всех v ? Ма^Е^т. е. ц максимальна. Если, наоборот,
имеется единственная максимальная мера ц, удовлетворяющая условию почти-периодичности, то, согласно предложению 4.3.40,
Wn (/): / е с(%)} [) Рау.
Но доказательство импликации (1) =>- (2) из теоремы 4.2.4 показывает, что эти две алгебры абелевы и совпадают.
Рассмотрим еще разложение G-эргодического состояния по почти-периодическим в случае G-абелевости пары (91, со). Это
свойство равносильно абелевости Р^п^ (91) Ра, согласно предложению 4.3.30, а тогда основное соответствие для ортогональных
мер влечет абелевость {ла (91) U Рш\'¦ Тем самым, в силу предложения 4.3.41, существует единственная максимальная мера ^ € Ма(Ея?(в)у Привлекательна была бы интерпретация разложения со, задаваемого мерой ц, как разложения со по почти-периодическим состояниям, но трудность здесь в том, что [г заведомо сосредоточена лишь на слабом* замыкании Е^в), а не обязательно
4.3. Инвариантные состояния
443
на самом Е^а). Тем не менее мы сейчас покажем, что |х эквивалентна эргодической мере т на отделимом компактном пространстве М, на котором определено почти-периодическое действие группы G. В данном контексте эргодичность т означает, что мера всякого нг-измеримого G-инвариантного подмножества в М либо нуль, либо единица. Именно это свойство позволяет провести аналогию с рассмотренными выше разложениями относительно подгруппы, когда для любой точки носителя ,и орбита под действием группы имела меру единица.
Предложение4.3.42. Пусть со? ?щ;,где91—алгебра с единицей, и пусть j-i — ортогональная G-инвариантная мера с барицентром со, т. е. jx (tg (/)) = j-i (/) при всех f ? C(i%) ug ? G. Существуют отделимое компактное пространство М, действие т* группы G на М, G-инвариантная бэровская мера т на М и сохраняющий меру *-изоморфизм к пространства L°° (.?%, (л) на т), коммути-
рующий с действием G.
Если пара ('Л, со) будет G-абелевой, а со ? & (Е%), тотэрго-
дична для действия т*.
Если вдобавок G локально-компактна и абелева, пара (91, со) является Gr-абелевой, а ц — та ортогональная мера, которая соответствует проектору Ра на подпространство Ua (0)-почти-перио-дических векторов, то М можно выбрать так, чтобы действие г*
было почти-периодическим, т. е. чтобы орбита {т,ф; t ? G} всякой функции ф ? С (М) имела компактное замыкание в С (М).
Доказательство. Пусть (St)' — абелева подалгебра фон Неймана
в коммутанте, соответствующая ц. Благодаря G-инвариантности (х
Ua (g) %Ua (*)-! <= S
при всех g ? G, поэтому можно определить группу автоморфизмов т алгебры © с помощью формулы
ig (В) = Ua (g) BUa (g)~i.
Рассмотрим G-инвариантное состояние т на 33, задаваемое равенством
т (В) = (Ош, BQ J
при В ? S3. Это т можно отождествить с вероятностной мерой на спектре М алгебры S3, причем носитель этой меры совпадает с М, так как вектор •— отделяющий для S3. Далее, можно отождествить S3 с L°° (М, т), а действие Л группы G на S3 задает сопряженное действие т* той же группы на М. Инволю-тивный изоморфизм х, переводящий L°° в L°° (М, т), задается тогда
