Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся теперь к характеризации почти-периодических разложений.
Предложение 4.3.43. Пусть со ? где G — локально-ком-
пактная абелева группа и ЗД имеет единицу, и предположим Gp — абелевость пары (91, со). Пусть Н,Л Е G обозначает аннулятор точечного спектра crp (Ua) унитарной группы Ua (G), a \i — ортогональную меру, соответствующую проектору Ра на подпространство и,Л (С)-почти-периодических векторов. Предположим также, что
(1) со содержится в грани F, которая удовлетворяет условию сепарабельности S;
(2) носитель р, содержится в Е^в).
Тогда найдется такое а ? & (?gj(G)) f| Е%а, что
/ (со) = М (/ (т*ш))
при всех / ? С(?щ;(С)), где М обозначает единственное инвариант-ное среднее на А (G/Ha). В частности,
,со (Л) = М (© (т (Л))
при всех А ? 91.
Доказательство. Согласно предложению 4.3.30, из (?г-абелевости (91, со) следует абелевость Ршпш (Я) Рш, и в силу основного соответствия для ортогональных мер будет абелевым {яш (SC) U Рш}'. Тогда из предложения 4.3.41 вытекает, что ц сосредоточена на Пусть 5^ обозначает носитель ц.
Теорема 4.3.31 показывает, что (Щ) U PJ' = (Я) U Еа (#<»)}'. По-
этому, применив предложение 4.3.2 с G = На, мы заключаем что s Е^*. Но по предположению = Е^а\ следовательно,
* {Ч{в)) n 4<G) n Et- g (4(G))п
4.3. Инвариантные состояния
447
Наконец, |х сосредоточена на F, и, значит, она сосредоточена на F П &
п
Теперь заметим, что G-инвариантность (X влечет для ш ? условие т*& ? S(х при всех i ? G, и поэтому т определяет действие G на С (S^). Далее, всякой почти-периодической функции на G отвечает некоторая непрерывная функция на боровской компактификации G группы G. Тем самым можно задать действие т* группы Она каждое со ? s , а переходя к сопряжен-
ным операторам, определить действие т на / 6 С (5ц). Возникающая функция
7 ? G I—> хTf будет непрерывна. Но если /, fn ? С (SM)., то
М- (xt (0 fn) = Фа. % (/) (t)-1 Хц (/«) й J =
= (Ош, Хц (/) f/m (/„) GJ
в соответствии с основной структурной теоремой для ортогональных мер (теоремой 4.1.25) и ковариантным законом преобразования для Хд, полученным в ходе доказательства теоремы 4.3.38. Таким образом,
И^Ш/л)= Ц (V- 0 (^со.Хц(/) ^оММ/л) aj-*€Ми<о)
В частности, р, (т (/) /л) ? Л (G/Ha) и
М(ц(хф /„)) = ц (/) (X (/„),
поскольку jW (y) = 0 при всех у ? G, кроме i, а Яа [i], по теореме 4.3.31, (2), оказывается проектором на С«ш. Последнее соотношение, выраженное в терминах G/Ha, приводит к равенству
I1 (/) = I* (/л)-1 ( (?{ (/) /л),
где dt обозначает меру Хаара. Воспроизведя основанные на теореме Лебега о мажорированной сходимости рассуждения из доказательства теоремы 4.3.38, можно установить, что
М/)= [ dif(x}&)
для любых 5 ? Sp П & (?$я;(0)) Л ^ (^Я0)-
Подчеркнем, что ?щ(0) П т. е. разложение
действительно происходит по состояниям почти-периодическим относительно факторгруппы GlHa.
Предложение 4.3.43 неудовлетворительно в том плане, что опирается на предположение о вложении носителя ц в . Проиллюстрируем природу этого предположения, рассмотрев случай дискретного спектра стр (Ua), когда G/Ha с необходимостью компактна. Тогда G/Ha совпадает со своей компактификацией, А (G/Ha) = С (G/Ha), и орбиты i ? G/Ha со (тi (Л)) автомата-
448
4. Теория разложения
чески непрерывны для любого со ? Е^ и любого А ? 91. Таким образом, предложение 4.3.43 приводит к разложению для со ? S’ (Ещ) того же типа> что и указанное в следствии 4.3.39 разложение
со (А) — f dl&(ii(A)).
Gl»a
Однако предположением о носителе ц, обеспечивается непрерывность %)<Ь, которой в общем случае может и не быть. Разумеется, если т сильно непрерывно действует на 91, то для соответствующего частного случая предложение 4.3.43 совпадает со следствием 4.3.39. Для того чтобы избавиться от предположения о носителе ц, но все же представить разложение со как усреднение вдоль орбиты другого состояния, обладающего эргодическими свойствами, оказывается необходимым расширить понятие почти-периодического состояния. При этом требуется найти аналог понятия измеримости орбиты, т. е. корректное понятие почти-периодичности должно быть связано с измеримостью орбиты по отношению к мере Хаара на G.
В заключение отметим, что неясно, какие кластерные свойства характеризуют й ? 8 однако для со и й, взаимо-
связанных так же, как в предложении 4.3.43, нетрудно показать, что
М (5 (Ах (В))) = & (А) со (В).
4.4. Пространственное разложение
До сих пор в этой главе мы интересовались разложением заданного состояния со операторной алгебры 91 по другим состояниям. Согласно общей схеме этих разложений, развитой в пункте 4.1.3, надлежит выбрать абелеву подалгебру фон Неймана 8 s яа (91)' и разложить со «над спектром 93». Если 93 конечномерна, т. е. 93 натягивается на конечную последовательность Ри Р2, ..., Рп
