Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
для почти всех г. Из cr-слабой сепарабельности я (Щ)" следует, что А (г) ? ? (я (г) (?[))'= Ci]^ ф для “jx-почти всех г. Следовательно, А диагонализуем
и А е S3.
4.4. Пространственное разложение
459
(а2) =ф-(al). Если 55 — максимальная абелева подалгебра в я (51)', то 55' порождается, как алгебра фон Неймана, я (Я) и 33. Согласно определению
4.4.4, тогда
®
SB' = j dp (г) (я (г)(И))* z
и, значит, в силу предложения 4.4.6, а),
аз = j dp (г) (я (г) (Я))'.
Z
Но так как 35 состоит в точности из диагонализуемых операторов в ф, то (л(г)(Я))' = Cl ip Для [г-почти всех г.
(б). Это утверждение сразу же следует из предложения 4.4.6, а) и б), и определения 4.4.4.
4.4.2. Пространственное разложение и разложение состояний
В этом пункте мы установим связь между пространственными разложениями, рассмотренными в пункте 4.4.1, и теорией разложения состояний, изложенной ранее. Мы также воспользуемся этой связью для доказательства двух результатов о свойствах множеств сосредоточения ортогональных мер, которые не могли быть доказаны прежними^средствами.
Пусть состояние со на С*-алгебре 3ljc единицей содержится в грани F, удовлетворяющей условию сепарабельности S (определение 4.1.32). Если (д. ? Ма (?щ), т. е. |д — мера Бэра с барицентром со, то из предложения 4.1.34 следует, что |д можно рассматривать как меру на F. Следовательно, |л оказывается стандартной мерой на F. Каждому со' ? F сопоставим ф (со') = —
гильбертово пространство представления, ассоциированного с со'. Мы покажем, что со' ? F v—г- § (со') образует семейство гильбертовых пространств в смысле определения 4.4.1Б. Для этого, как и при доказательстве предложения 4.1.34, выберем применявшуюся для выявления свойств грани F последовательность \АПу k\,u k>\ элементов 31, с тем небольшим отличием, что теперь мы при каждом п считаем множество {Л„, k\k>i плотным во всём идеале В силу леммы 4.1.33, последовательность (An,k)\n, *>1
будет сильно плотна в (31)" для любого со' ? F, так что {лм- (Л„,/е) k>i плотно в § (со') для любого со' ? F.
Поскольку отображение
СО ^ F I > (я^' (Лт> /) (Afli k) Q(o') — СО (Л/П]
460
4. Теория разложения
непрерывно, а потому измеримо, со' ? F ф (со') образует измеримое семейство гильбертовых пространств, и можно ввести прямой интеграл
®
= К(соШсо')-
F
Для всякого А ? 21 в фу возникает измеримое семейство операторов со' яа'(А), и можно образовать прямой интеграл представлений
©
Яд = J d|A(to') лш-.
F
Пусть Од ? фу обозначает следующий единичный вектор:
©
йд = J сг[х(сй')ою-.
F
Тогда при всех А 91
(йд, Яд(Л)йд) = яи-(Л)йю-) =
F
= J dp (со') со' (А) = со (А) = (Qm> яю (A) QJ.
F
Введем проектор
?д = [Лд(Я)?2д] 6 Яд (91)'.
По теореме 2.3.16, определенная на фю изометрия U с областью значений Еуфу в ?д, заданная соотношением
(А) = Яд (А) Од,
устанавливает унитарную эквивалентность представлений яю и .ЕдЯд. Замечательным обстоятельством является то, что Еу = ~ в том и только том случае, когда мера jx на ортогональна. Помимо всего прочего этим обеспечивается структурная связь между пространственными разложениями и разложениями состояний, т. е. связь между теоремой 4.1.25 и теоремой 4.4.7.
Теорема 4.4.9 (теорема Эффроса). Пусть С*-алгебра 91 обладает единицей, грань F е удовлетворяет условию сепарабельности S, а бэровская вероятностная мера (х на имеет барицентром a?F. Рассмотрим описанное перед теоремой представление
4.4. Пространственное разложение
461
— прямой интеграл представлений алгебры 21,—действующее в пространстве
е = j F
и пусть Ед обозначает проектор в на область значений изометрии U : —» §д, устанавливающей каноническую унитарную
эквивалентность яш и Е^п^. Следующие условия эквивалентны.
(D =
(2) fi ¦— ортогональная мера.
©
Если эти условия выполнены, то Яд = j d\i (со') яи- совпадает
F
с разложением яд в прямой интеграл то отношению к абелевой подалгебре фон Неймана ЗЗд s яд (21)', соответствующей ортогональной мере [а .
Доказательство. (1) =>- (2). В обозначениях, введенных перед теоремой, условие (1) равносильно цикличности Йд для я(1, или же унитарности U. Мы хотим показать, что отображение
/ € (М-) 1—> (/) € яш (St)7!
