Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
G!H со
при всех А ? При этих условиях й обладает слабым перемешиванием по отношению к На, т. е. М (| й (Ах (В)) — й (А) й (В) |) = О для всех А, В ? % и любого инвариантного среднего М на Сь (G).
Доказательство. Сначала отметим, что, будучи дискретным, спектр crp (Ua), автоматически замкнут. Топология на двойственной группе определяется так,
что G будет удовлетворять второй аксиоме счетности, если ей удовлетворяет G.
Тем самым дискретный спектр crp (Ua) = G должен быть счетным, а тогда, согласно следствию 4.3.32, пара (%., ш) должна быть #м-абелевой.
Существование й вытекает из следствия 4.3.39. Из доказательства этого следствия также видно, что
/?С(%) I—>n(f)= J dtf(x*t5>)
определяет ортогональную меру на Е^. Но поскольку G/Ha тоже удовлетворяет
второй аксиоме счетности, то мера ц стандартна, и из теоремы 4.4.9 следует, что пространственное разложение соответствующее ц, существует и имеет вид ® ©
= 'J dt§ ,, = f din . _ .
п f dtf (t) я » (A) Q » ,
Поэтому векторы вида ' ' ’ t б т ffi
где A ? St и f ? L°° (GlHa), плотны в фш, согласно замечаниям после теоремы
4.4.2.
Далее, так как топологическая группа G удовлетворяет второй аксиоме счетности, она метризуема (см. замечания и комментарии), а поскольку G локально-компактна, она полна в этой метрике. Таким образом, G является польским топологическим пространством. Так как отображение G—y-G/Ha непрерывно и открыто, то из результата (2), использованного в доказательстве предложения 3.2.72, следует существование такого борелевского отображения т): G/JJa —>- G, что Г) (?) = t.
4.4. Пространственное разложение
467
Г 0
Теперь введем изометрию U: = jG/H следующим обра-
Для А ? St положим
©
¦иЯй(А)ай= f (т (Л))
пт ‘
Q
©
Этим равенством определяется вектор в |)а = dlS) * , потому что при
J т, со
/ ? L°° (G/Ha) и В ? St отображение
//(0 Я (В) о я . _/т (Л))Й . \ = МО а (т (f) (В*) Л)
I СО СО СО V Л (г) / Tj и I ' 1 ' ' '
будет борелевским вследствие непрерывности 11—Поэтому Un& (A) йа ?
6 S*co. согласно определению 4.4.1Б.
После этого заметим, что
|[/яш (Л)Йа|р = f diT;.ffi(T (,,-1^^))= \ dt&(A*A) =
G'H<*
= аММ)=|яаИ)па|р.
Таким образом, U является корректно определенной изометрией из в При s ? На мы имеем также
ии& (*) И) Па = ^ясо (Ts О4)) =
© ©
= f din . /т j (Л)\ Й * = [ dlU , (s)jt , (т г (Л)’) Q , =
J Xt СО V Л (О S / т СО J Tj со т. со V Л (О / Хх со
G/Ha t t с/На t t t
= t'co (s) u*s> (A) Offi -
где
йа = [ dtQ ,
J X x CO
G/Ha Отсюда
©
Ua(s)= [ dtU . (s).
J , .T, CO
°/Hoo *
В результате мы получаем
UU& (0= < € Яв,
т. е. f I—> U& (t) унитарно эквивалентно некоторому подпредставлению представления 11—=> Ua(t). Но точечный спектр Op(Ua), как мы уже указывали, замкнут и счетен. Тем самым, согласно замечанию к теореме 4.3.27, сужение Ua на На не имеет точечного спектра, за исключением точки нуль. Поскольку Uq унитарно эквивалентно некоторому подпредставлению представления Ua/Ha, то U & не имеет иного точечного спектра, кроме нуля. Так как со обладает Ли-эргодич-
468
4. Теория разложения
ностью, то из предложения 4.3.36 следует, что й является слабо #ш-перемешива-ющим, т. е.
М (| S (Лт (В)) — й (Л) й (В) |) = О для всех Л, В ? Ш и всех инвариантных средних М на Сь {На).
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ Пункт 4.1.2
Начало современной теории барицентрических разложений положили исследования Шоке. В 1956 г. он установил, что каждая точка со метризуемого компактного выпуклого множества К является барицентром некоторой вероятностной меры сосредоточенной на 06-множестве крайних точек 8 (К)- Примерно в то же время он ввел общее понятие симплекса и доказал, что каждая точка со ? К служит барицентром некоторой единственной максимальной меры тогда и только тогда, когда К — симплекс. Эти утверждения, содержащиеся в теоремах 4.1.11 и 4.1.15, послужили основой дальнейшего развития теории. (См. [Cho 1—4].)
