Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. (1) и (2) сразу вытекают из следствия 4.4.8. Что касается
(3), то, замечая, что (согласно предложению 4.3.2) носитель |.i содержится в Е^ , можно записать
*
ям = J dp (со') яю,; йш =
J dp(а>’)?2ш,.
Но тогда при всех А ? Ш-и» (§) (А) Оц, = Яц, (Tg (Л)) Оц,
®
= J dp (0)') лш, (Tg (Л)}
J dp (со') Ua, (g) яш. (А) Ош.
464
4. Теория разложения
и, значит, операторы 1/ш (g) разложимы:
©
Va(g) = J d\i(a>')Uа, (g).
ЬЖ
Так как 25 — максимальная абелева подалгебра в {яш (St) U Um ((?)}', то множество разложимых операторов
©
5В'= j dp (а')
ьж
представляет собой алгебру фон Неймана, порожденную самой 93 и операторами
©
(л) = J ^ (и') Яи, (Л), Л?Щ,
Ж
©
иы (g) = J dn (ш') Ua, (g), g?G.
"Ж
По теореме 4.4.5 для р,-почти всех ш' справедливо равенство {ям/ (St) U U Uы, (G)}" = S (§и), которое равносильно эргодичности ш' по теореме 4.3.17.
Далее, рассмотрим разложение на бесконечности. Пусть (91, |'Яа}а?/) — квазилокальная алгебра, s введенная определением
2.6.3. Пусть со — состояние на 91 и
— соответствующая алгебра на бесконечности (определение 2.6.4). В теореме 2.6.5 было доказано, что 3„ является подалгеброй центра За алгебры (91)", и там же были охарактеризованы состояния с тривиальной алгеброй на бесконечности. Теперь мы докажем, что при наложении определенных условий сепарабельности ортогональная мера, соответствующая разложению со на бесконечности т. е. разложению, определенному по 3„, сосредоточена на некотором измеримом подмножестве состояний с тривиальной алгеброй на бесконечности.
Теорема 4.4.11. Пусть со—состояние квазилокалькой алгебры (91, {9ta}«?/)- Предположим, что
(1) существует возрастающая последовательность в /, такая что для любого а ? I найдется п с аа > а;
(2) каждая алгебра 9tan содержит сепарабельный замкнутый двусторонний идеал 3„, такой что l|co|gJ|= 1.
4.4. Пространственное разложение
465
Тогда ортогональная мера ц, соответствующая алгебре на бесконечности Зщ> сосредоточена на некотором измеримом множестве состоящем из состояний с тривиальной алгеброй на бесконечности
Доказательство. Поскольку для любого со' ? Е^
3“'
согласно условию (1) определения 2.6.3, мы можем, не теряя общности, считать
I = {1, 2, ...} и положить 81п = ЗЦ,- По предположению (2) состояние а содержится в грани F е Еудовлетворяющей условию сепарабельности S (определение 4.1.32). Поэтому, по теореме 4.4.9, разложение в прямой интеграл соответствующее , имеет вид
Щ
яш= J d]x (со') .
F
Для всякого со' a F введем
Тогда Зм' = Л 33(0-, „¦ Так как 3^ = „ при каждом п, то из определения
п
4.4.4 следует, что
©
0,П= п-
F
Согласно предложению 4.4.6, б), имеем
© Ф
Но За состоит в точности из диагонализуемых операторов в разложении =
Ф
= j dfi (со') лм,, поэтому Зщ- = для (i-почти всех со' ? F.
F
В заключение мы применим теорию пространственного разложения для усиления предшествующего результата (следствия 4.3.39) об эргодическом разложении по отношению к подгруппе. Следующий результат описывает ситуацию, в которой эргодическое разложение фактически оказывается разложением по слабо перемешивающим состояниям, т. е. состояниям с более высокой степенью эргодичности, чем можно было бы ожидать.
Теорема 4.4.12. Пусть со ? & (Е%), где G — локально-компактная абелева группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетно-сти, которая сильно непрерывно действует на С*-алгебре 91 седи-
466
4. Теория разложения
ницей. Предположим, что точечный спектр crp (Ua) группы 1!ы (G) является дискретной подгруппой в G, и пусть Н,Л обозначает ее аннулятор. Предположим Gr-абелевость пары ('Д, со), и пусть со принадлежит грани F, удовлетворяющей условию сепарабельности
S. Пусть й обозначает такое состояние й ? & (я sf) fi F, что отображение t ? GIH ,0 i—> измеримо no мере Xaapa di на G/H(li и
w (Л) = J dtй (тг (Л))
