Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Замечания и комментарии
473
макроскопической наблюдаемой. В состоянии со эта наблюдаемая
имеет точное значение тогда и только тогда, когда ц (Л") = ц (Л)'1, а это как раз выражает свойство 1?3-эргодичности со. Поэтому такая модель наводит на мысль характеризовать чистые термодинамические фазы эргодическими состояниями.
Понятие G-абелевости было введено Лэнфордом и Рюэлем [Lan 3 ], которые определили ее как свойство абелевости E^na (ЗД) Еа, для всех со ? Ещ. Затем они доказали, что это определение совпадает с приведенным в данной книге при всех со ? Е%, т. е. установили эквивалентность условий (1) и (2) предложения 4.3.7. В [Kas 1 ] было впервые указано, что свойство G-абелевости является достаточным условием существования единственного эргодического разложения для локально-компактной абелевой G, а общий результат был получен в [Lan 3 ]. Тот факт, что единственность барицентрического разложения для всех нормальных инвариантных состояний влечет G-абелевость (теорема 4.3.9), впервые был опубликован в записках семинаров Данг Нгока и Гишардэ [Dan 11, [ [Gui 2 ] ]. Понятие центральности было введено Допли-хером, Кастлером и Стёрмером [Dop 2], а теорема 4.3.14 также впервые появилась в [Dan 1 ], [ [Gui 2 ] ]. Абстрактная форма эргодической теоремы (предложение 4.3.4) была дана в [Ala 1 ], а ее алгебраический вариант (предложение 4.3.8) — в [Kov 1 ].
Во многих ранних исследованиях, посвященных эргодическим состояниям, применялось какое-либо из средних на группе G для выражения соответствующего условия асимптотической абелевости ит. п., и тем самым результаты удавалось получить лишь для аменабельных групп. Напомним, что локально-компактная топологическая группа G называется аменабельной, если С*-алгебра Сь (G) ограниченных непрерывных функций на G обладает состоянием М, инвариантным относительно правых сдвигов. Не все группы аменабельны, но в этот класс попадают, во всяком случае, компактные группы, локально-компактные абелевы, а также ло-кально-компактные разрешимые группы. Кроме того, любая замкнутая подгруппа аменабельной группы аменабельна, равно как и факторгруппа G/Н аменабельной G по ее замкнутой нормальной подгруппе Н. Обратно, если аменабельны Н и G/Н, то аменабельна и G. Некомпактные полупростые группы Ли неаменабельны; неаме-набельна и свободная группа с двумя образующими. Имеется масса эквивалентных условий, характеризующих аменабельность; к примеру, критерием в случае локально-компактной группы G служит наличие для каждого компактного К ^ G сети борелевских множеств Ua Е G с (I (Ua) < оо, для которой
lipin(gt/eAt/e)/fl(t/e)=0
<L
474
4. Теория разложения
при всех g ? К', здесь |л — некоторая фиксированная мера Хаара. Сетью Ua можно воспользоваться для явного задания инвариантного среднего:
Mtf> = liamjT(kj .К(?)/(?)•
^а
Так обобщается среднее, применявшееся в примере 4.3.5 (см.
[ [Gre 1 ] ]).
Другой подход к теории, пригодный для произвольных групп G, состоит во введении среднего на некотором подпространстве пространства В (G) ограниченных функций на G. Следуя Годману [God 1], Доплихер и Кастлер [Dop 3] рассматривали множество тех f ? В (G), для которых выпуклые оболочки их левых и правых сдвигов содержат константу. Такая константа единственна и определяет среднее М (/) функции f. Указанное множество содержит функции положительного типа на G, так что для матричных элементов унитарных представлений G средние определены. Трудности при этом подходе связаны с тем, что не очевидно существование средних для функций типа
^С^со(МЛ), 5])
и приходится добавлять такую гипотезу.
Наряду с G-абелевостью и G-центральностью вводились более сильные коммутационные свойства; обсуждение их и связей между ними читатель найдет в [Dop 2]. Примеры 4.3.18 и 4.3.21 взяты из этой статьи.
Нами не затронут аспект теории разложения, связанный с разложением положительных линейных функционалов на *-алгебрах неограниченных операторов, скажем разложением функционалов Вайтмана на так называемой алгебре Борхерса. Такая теория сталкивается с патологиями, не имеющими аналогов в С*-случае; так, у абелевых *-алгебр имеются бесконечномерные неприводимые ^-представления, а также могут существовать экстремальные вайтмановские функционалы, не обладающие свойством кластерное™. Эти проблемы проанализированы в серии статей Борхерса и Ингвасона [Вог 5], [Yngl],
Первый вариант теоремы 4.3.19 появился в [Kas 1 ], его улучшил Стёрмер [St^>3], а окончательный результат установил Нагель [Nag 1].
То обстоятельство, что в характеризации эргодических состояний асимптотическую абелевость можно заменить свойством вектора Q,„ быть отделяющим, было отмечено Ядчиком [Jad 1 ], получившим результаты, близкие к теоремам 4.3.20 и 4.3.23.
Пример 4.3.24 основан на идее, содержащейся в [Kas 1 ]. Обсуждение и интерпретацию свойств перемешивания в классической эргодической теории можно найти у Арнольда и Авэ [ [Arn 1 ] ].
