Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Следующий значительный . вклад внесла совместная работа Бишопа и де JTey [Bis 1 ]. Эти авторы первыми ввели порядковую структуру в множестве положительных мер УИ+ (К). Их отношение порядка ^>, отличающееся от использованного нами отношения )>, вводилось следующим образом:
[1 > v (х (/2) ^2 v (/2) при всех f?A(K).
Эти два отношения* в общем случае не совпадают (см. пример 4.1.29, принадлежащий Скау [Ska 1 ]). Отношение ввел впоследствии Шоке. Наличие порядковой структуры позволило применить лемму Цорна для доказательства существования максимальных мер с заданным барицентром (предложение 4.1.3), а также позволило изучать разложения для неметризуемых К• В частности, Бишоп и де JTey показали, что максимальные меры в Мг (К) псев-дососредоточены на 8 (К), и построили примеры, демонстрирующие, что при неметризуемом К множество 8 (К) может иметь крайне патологические свойства с точки зрения теории меры. Мокободский позднее построил пример (упомянутый в замечании перед следствием 4.1.18) такого симплекса К, что 8 (К) — борелевское подмножество в К, но |ли (8 (К)) = 0 [Мок 1 ]. В 1972 г. Мак-Гиббон получил довольно неожиданный результат об автоматической метризуемости К при условии, что Ж (К) — бэровское множество. Фактически для метризуемости К достаточно, чтобы множество 8 (К) было аналитическим [MacGl ].
Первый общий обзор развития теории разложений за период L956—1963 гг. был сделан Шоке и Мейером [Cho 6]. Эта статья, содержавшая много новых результатов и усовершенствований,
Замечания и комментарии
469
в течение ряда лет служила основным источником сведений по данному предмету. Впоследствии появилось много великолепных изложений теории, например [ [Alf 1]], [[Cho 1]], [Lan 1 ], [[Phe 1]].
Пункт 4.1.3
Алгебраическая теория разложений «моложе», и обзорных статей по ней гораздо меньше. Частично эта теория описана в главе 3 книги Сакаи [ [Sak 1 ] ], а на наше изложение оказало значительное влияние статья Скау [Ska 1 ].
Первые исследования по теории разложений в терминах мер ' на пространстве Ещ^ состояний С*-алгебры 91 предпринял Сигал в 1951 г. [Seg 2], но общая теория возникла значительно позже. У нее было два главных источника: во-первых, понятие ортогональной меры, которое ввел в 1956 г. Томита [Tomi 2], и, во-вторых, результаты об инвариантных состояниях, полученные Каст-лером, Робинсоном и Рюэлем в 1966.г. (см. замечания к пункту 4.3.1). В частности, Рюэль первым применил теорию Шоке к разложению состояний.
Томита доказал наличие взаимно-однозначного соответствия между ортогональными мерами в Ош (Ещ) и абелевыми подалгебрами в яш (91)', т. е. соответствия между первым и вторым множествами в теореме 4.1.25. Наша формулировка теоремы 4.1.25 комбинирует результаты разных авторов, и неясно даже, кому ее следует приписать. Соответствие между вторым и третьим множествами явно фигурирует в статье Рюэля [Rue 1 ] и неявно в статье Скау [Ska 1 ]. Две эти работы содержат также варианты второй основной структурной теоремы об ортогональных мерах (теоремы 4.1.28).
Условие (4) теоремы 4.1.28 эквивалентно условию jx v, где
обозначает упорядочение Бишопа — де Леу, о котором шла речь в замечаниях к пункту 4.1.2. Таким образом, для ортогональных мер отношения порядка и )> совпадают. Эта эквивалентность впервые была отмечена Скау [Ska 1 ]. Ключевая для наших доказательств структурных теорем лемма 4.1.27 неявно была дана Рюэлем [Rue 1] и явно Скау [Ska 2].
Пункт 4.1.4
Результаты об /г-мерно однородных С*-алгебрах, упомянутые перед примером 4.1.31, были получены независимо Феллом [Fell 1 ] и Такесаки и Томиямой [Так 4]. Эти статьи также содержат анализ глобальной структуры /г-мерно однородных С*-ал-гебр, которые, в отличие от случая алгебр фон Неймана, не обя-
470
4. Теория разложения
заны иметь вид Мп ® С0 (X), где пространство X локально-компактно и отделимо. Например, существует трехмерно однородная С*-алгебра над шестимерной сферой, не содержащая других проекторов, кроме 0 и И.
Условие сепарабельности S было впервые введено Рюэлем [Rue 2] для последующего приложения к изучению локальнонормальных состояний на квазилокальной алгебре. Обобщение этого условия имеется в [Rue 1 ]. Хотя Рюэль не подчеркивал геометрических аспектов и аспектов теории меры, относящихся к множеству F состояний, удовлетворяющих условию сепарабельности S, доказательство предложения 4.1.34 по существу содержится в [Rue 1 ] и [Rue 2].
Секвенциальная полнота множества Ngjj нормальных состояний алгебры фон Неймана ЭЛ доказана Акеманном [Аке 2].
Подробности об аналитических множествах и прочих близких понятиях можно найти в [[Cho 1]]. В частности, мы воспользовались теоремой 9.7 этой монографии (теоремой о емкости), чтобы выяснить свойства измеримости аналитических множеств.
Отображение сужения в теории разложения состояний применялось очень давно, по крайней мере уже в ранней работе Томиты [Tomi 3].
Пункт 4.2.1
Теорема Картье—Фелла—Мейера (предложение 4.2.1), появившаяся в работе [Саг 2 ] в контексте общих компактных выпуклых множеств, была краеугольным камнем в доказательствах структурных теорем для ортогональных мер, данных Рюэлем и Скау. Этот результат может рассматриваться как естественное обобщение порядковых свойств конечных последовательностей вещественных чисел, описанных гораздо раньше Харди, Литтлвудом и Пойа (см. [[Hard 1, стр! 45]]).
