Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Ф
Т=[ d[i (z) Т (г).
Ясно, что вместе с Т и 5 разложимыми окажутся Т + S, TS и Т* и что
Т + 5= J dn(z)(T(z) + S(z)),
®
7 5= J dH.(z)(7’(z)S(z)),
454
4. Теория разложения
Т* = J dn(z)T (г)*,
Z
1ГII = ess sup {IIГ (2) ||; z ? Z}.
Если оператор Т разложим и вдобавок при каждом г оператор Т (г) в § (г) скалярен, то Т называют диагонализуемым оператором. Воспользовавшись отождествлением
j dp (г) ? (г) = 0 (L2 (Z„, dfx) ® фя),
Z /1 = 1
можно убедиться, что множество разложимых операторов совпадает с алгеброй фон Неймана
К
0 (^°° {Zn dp) ® S’ (?„)),
П = 1
а диагонализуемые операторы образуют ее абелеву подалгебру Ко
0 (Z.°° (Zn, d\i) <g> Ил).
/7 = 1
Последняя алгебра является центром первой, и мы теперь покажем, что в таком виде представима всякая абелева алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Теорема 4.4.3. Пусть 3 — абелева алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве ?. Тогда существуют стандартная мера |1 на измеримом пространстве Z, измеримое семейство 2 1—» § (г) гильбертовых пространств и унитарное отображение
®
U< ? -> j d\i (г) ? (г), z
такие что UQU* совпадает с алгеброй диагонализуемых операторов в пространстве
©
Jd|i(z)$(z).
Z
Эта теорема уже была доказана нами при наличии у 3 циклического и отделяющего вектора во вводных замечаниях к разделу 2.5. В таком случае все § (г) будут одномерными. Применение структурной теоремы для изоморфизмов между алгебрами фон Неймана (см. теорему 2.4.26) сводит доказательство теоремы 4,4.3 к техническому упражнению.
4.4. Пространственное разложение
455
Упомянем еще некоторые результаты об общем виде алгебр фон Неймана 2К, состоящих из разложимых операторов и содержащих диагонализуемые операторы 3, т. е.
Определение 4.4.4. Пусть [х — стандартная мера на Z и г н—> 6 (г) — измеримое семейство гильбертовых пространств на Z
©
с прямым интегралом § = j d|x (г) § (г). Пусть при каждом г
z
задана алгебра фон Неймана (г) в ф (г). Семейство
{Э?г (г); z?Z\
называется измеримым семейством алгебр фон Неймана, если в § существует последовательность разложимых операторов
©
Ап = j ф(г) Ап (г), z
такая что Ж (г) оказывается алгеброй фон Неймана, порожденной |Ап (г); п = 1, 2, ...}, для почти всех г. В такой ситуации алгебру фон Неймана Ж = (\Ап\ п = 1, 2, ...} U 3”, порожденную операторами [Ап\ п — 1, 2, и диагонализуемыми операторами, называют прямым интегралом семейства |9J{ (z)j и обозначают так:
©
Ж = j d(l (г) Ж (2).
Z
Эту терминологию оправдывает следующая теорема, которая показывает, что последовательность {Ап\ в определении Ж играет сугубо вспомогательную роль. Доказательство опирается на теорему о бикоммутанте и использует принадлежность 3 центру 5№.
Теорема 4.4.5. Если Ш и Ш — два прямых интеграла алгебр фон Неймана, тоЖ^^Я тогда и только тогда, когда Ж (г) s 5Я (г) для почти всех г ? Z.
В частности, Ж единственным образом определяется измеримым семейством (г)}, т. е. оператор А содержится в Ж тогда и только тогда, когда А разложим и А (г) ? ЗГО (г) при почти всех г ? Z.
Поскольку всякая алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве сепарабельна в a-слабой топологии, из определения 4.4.4 следует, что алгебра фон Неймана Ж в § =
©
= j d\i (г) § (г) является прямым интегралом тогда и только z
тогда, когда 3 s Ж s 3'-Следовательно, теорема 4.4.5 характеризует такой класс алгебр фон Неймана. Следующее предложение не содержит неожиданностей; в нем показано, что операция взятия
456
4. Теория разложения
прямого интеграла коммутирует с операциями счетного пересечения и взятия коммутанта в множестве таких алгебр фон Неймана.
Предложение 4.4.6. Пусть мера [х стандартна и $ = ©
= J (г) (г) — прямой интеграл гильбертовых пространств,
z
а) Если алгебра Шеф является прямым интегралом алгебр фон Неймана:
©
ж = j dp (г) шг (г),
Z
то Ш' имеет вид
©
ал' = j dp (г) w (г).
z
б) Если в задана последовательность 3^ прямых интегралов алгебр фон Неймана:
