Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
П
взаимно ортогональных проекторов с 2 Pt = D, то разложение со
i=i
принимает вид
П
со = 2 ^®г»
*=1
где Хгсог (Л) — (Qm, Р^п (A) QJ. С этим разложением со тесно связано пространственное разложение представления
4.4. Пространственное разложение
449
ибо, задав
= о)’ =
п _ Pi&ш
* “ П^|0®1Г
мы отождествим яг, Q*) с (?И(., яа?, Qa,.), и тогда
П П ^
= 0 §(0?> ЯС0 = 0 Лйг-.
1 = 1 1 = 1
Это разложение представления jtw называется пространственным разложением яа, определенным алгеброй 23. Обобщению такого понятия на произвольные абелевы подалгебры фон Неймана S Е яа (21)' и посвящен данный пункт. Конечно, в общем случае разложение имеет вид прямого интеграла, а не прямой суммы, так что вначале требуется изложить теорию прямых интегралов гильбертовых пространств. Оказывается, что удовлетворительную теорию такого рода удается построить только при наличии надлежащих свойств сепарабельности — как у пространств с мерой, так и у гильбертовых пространств. Поскольку эта теория подробным образом освещена в большинстве стандартных руководств по операторным алгебрам, мы в основном ограничимся обзором результатов. Большая часть проблем здесь относится к теории меры, а доказательства проводятся в том же духе, что и доказательство предложения 4.1.34.
Изучение разложения состояний при помощи разложения представлений обладает рядом преимуществ перед разобранным выше подходом, опирающимся почти исключительно на свойства состояний. Например, для того чтобы получить «хорошие» свойства носителей максимальных ортогональных мер ца, встречающихся в экстремальных, центральных и эргодических разложениях, мы постоянно предполагали, что со лежит в грани F, удовлетворяющей условию сепарабельности S. Хотя это предположение естественно в приложениях теории разложения к квазилокальным алгебрам, оно выглядит довольно искусственным в общей постановке. Теория представлений позволит нам заключить, что меры имеют хорошие носители при более слабом и естественном предположении о сепарабельности пространства представления Кроме того, можно использовать разложение представлений для получения результатов о разложениях состояний по отношению к алгебре на бесконечности и для доказательства того, что разложение эргодического состояния по отношению к нормальной подгруппе приводит к улучшенным кластерным свойствам.
450
4. Теория разложения
4.4.1. Общая теория
Сначала напомним, что конечная положительная мера |я на измеримом пространстве Z называется стандартной мерой, если существует такое ^.-пренебрежимое подмножество Е <= Z, что Z\E является стандартным пространством с мерой, т. е. боре-левская структура на Z \ Е задается некоторым польским пространством (полным сепарабельным метрическим пространством). Отметим, в частности, что если Ещ^ —пространство состояний С*-алгебры с единицей, грань F s удовлетворяет условию сепарабельности S, со ? F и |я — мера Бэра с барицентром со, то |я сосредоточена на F, согласно предложению 4.1.34, и легко проверить, что |я — стандартная мера.
Предположим, что мера |я на Z стандартна и что каждому z ? Z сопоставлено гильбертово пространство (г). Тогда при условиях, которые будут оговорены ниже, можно определить прямой интеграл гильбертовых пространств
®
? = J dfi(z)?(z).
z
Известны два эквивалентных определения этого объекта. Один из подходов отличают краткость и конкретность, но он несколько искусствен с общей точки зрения, а другой хотя и длиннее, но более естествен и лучше применим. Мы опишем оба подхода.
Определение 4.4.1 А. Пусть задана последовательность раз и навсегда выбранных гильбертовых пространств s §2 s ... ... S §Х0, в которой индекс пространства совпадает с его размерностью. Пусть \Zn\ —¦ разбиение Z на измеримые подмножества. Для г ? Z„ полагаем § (г) = Тогда
? = J dp (г) ? (г)
z
определяется как множество всех функций / на Z, таких что
(I) / (г) 6 ^ ?К0 при z ? Z„;
(II) функция z / (г) ? фх0 является ^-измеримой, т. е. ^-измеримы функции г н-»- (?, / (г)) при всех ? ?
(III) J dix (Z) I / (Z) f <оо.
Z
(Заметьте, что (II) и сепарабельность фх0 влекут измеримость функции z I 1| / (z) |)2.)
4.4. Пространственное разложение
451
Линейные операции вводятся очевидным образом, а скалярное произведение задается формулой
(/. 8) = \ dp (z) (/ (z)> ё (z)).
z
Пространство § называют прямым интегралом гильбертовых пространств ф (z).
