Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.3.38. Пусть G—топологическая группа, а Я — ее замкнутая нормальная подгруппа, такая что факторгруппа G!Н компактна. Пусть dg обозначает нормированную жру Хаара на GiH. Предположим, что G действует как группа *-автоморфизмов х на С*-алгебре 91 с единицей. Предположим, что для со?
4.3. Инвариантные состояния
435
? 8 (?щ) пара (91, со) является Н-абелевой, а унитарное представление Uuj группы G слабо непрерывно.
Если со принадлежит грани F в Е<%, которая удовлетворяет условию сепарабельности S, то существует такое со ? 8 (?^) П F, что отображение g (j GIH >—*¦ t|oj оказывается dg-измеримым и
со (Л) = J dgw (тг (Л))
GIH
при всех А ? 91. Это разложение совпадает с тем, которое задается единственной максимальной мерой ^ ? уИш(?^), т. е. ортогональной мерой, соответствующей алгебре (91) U UUI (Я)}', и для каждой функции f ? С (Е^)
И(Л= f dgf(xla>). в/н
Доказательство. В силу предложения 4.3.7, коммутант {яш (9t) (J Ua(H)}' абелев, так как Н-абелева пара (31, со). Следовательно, предложение 4.3.3 показывает, что М^ (¦Е'Ц;) содержит единственную максимальную меру ц, причем это та ортогональная мера, которая соответствует {ям (3t) (J Ua (Н)}'. Возьмем теперь f ? С (Е^); действие т на f задается формулой
М К) = f (тёш')’
но действие это не предполагается непрерывным, что создает определенные трудности. Мы обойдем их, воспользовавшись свойствами \у.
Прежде всего, в силу инвариантности (х, для любых А, В ? Ш. и f ? С получим
Хц (igf) = Uto (g) Ху (f) иа (ёГ1 с помощью простой выкладки
(йш, (А) Ху (xgf) па (В) ?3Ю) = jx (ABxgf) = ц (х^(АВ) f) =
= (Qa, яю (Л) Ua (g) Ху (f) Ua (g)-i яю (В) QJ
(G-инвариантность |л следует из ее единственности). Далее, пусть Еа обозначает проектор на подпространство в порожденное Ua (Н)-инвариантными векторами. Основное соответствие для ортогональных мер приводит к равенству
*«,©« = (/); f е с(?я)Г°«];
кроме того,
fts (/) fn) — (Om, Ху (xg (f) fn) Qra) = (Ям, Ху (f) Uщ (g)* Ху (fп) Qra) ='
= (йи'. (f) ии (S)* (fn) Q J
при всех f, fn ? С (Efy), где g обозначает образ g в GlH. Заметим теперь, что
равенство
f dgUa (g) Еа = Еа (G)
G/H
436
4. Теория разложения
определяет проектор на некоторое подпространство пространства ?/,,> (О)-ин-вариантных векторов. Но из //-абелевости пары (St, со) следует ее О-абелевость, и со ? 8 (^St)' "^ем самым> по теореме 4.3.17, ранг проектора Еа (G) равен единице, т. е. Еа (G) проектирует на С?2Ш. Отсюда мы заключаем, что функция В € а ь-9. ц ((xgf) /„) = ц ((xsf) /„)
непрерывна на G/Н при всех /, /„ ? С и
[ dgn ((r6f)fn) = И- (/) М- (/„).
G/H
Согласно предложению 4.1.34, грань F устойчива. Значит, ц сосредоточена на F. Кроме того, ц сосредоточена на & (?$)> в СИЛУ предложения 4.3.2. Поэтому ц сосредоточена на F f| (^щ)’ и Д°лжн0 найтись со ? F П & (^щ),
которое содержится в носителе ц. Условие сепарабельности S (определение 4.1.32) предполагает наличие двусторонних идеалов Зл, п>- I; пусть {Ап, т}т^\ — счетное плотное подмножество самосопряженных элементов в %п- Введем последовательность слабых* окрестностей Np (й), р > 1, состояния й:
JVp (й) = |со'; со' ? , | (й — со') (Л„_ т) ] < 1 /р для 1< «, т<р) _
Тогда
{й} = П Np (й) П F.
Р> 1
Если функции /р б С (Ещ^, р > 2, выбрать так, чтобы 0 ^ /р^ 1, /р (со ) = 1 при со' ? ,Ур (й) и /р (со') = 0 при со' ? Е^ \ Np_t (й), то
^ ((V) fP)
И (/Р) а также
f4(V)/P)
Jim
р->0О
- (V) <*>
= о
для / ? С(?щ) при каждом g ? G/Я. Поэтому из теоремы Лебега о мажорированной сходимости следуют dg-измеримость функции g ? G/H i—s- (т^/)(й) и равенство
f dg (V) (“) = Пт f dg|A((T./)/n(/p) = n(/).
G/н p^°° G/H
В частности,
со (Л) = ц (А) = f dg(o(Tg (А)у
в/н
Хотя приведенные теоремы доказывают существование разложения G-эргодического состояния по отношению к некоторой нормальной подгруппе Я, но никакого естественного выбора Я они не подсказывают. Если ограничиться классом локально-компакт-
4.3. Инвариантные состояния
437
ных абелевых групп G, то выбор Я можно непосредственно увязать со свойствами точечного спектра стр (U№) группы Um. Напомним,
что при со ? Ж (Е%) точечный спектр (Уа образует подгруппу в G, если вектор — отделяющий для (91)" (теорема 4.3.27) или если пара (91 со) является Gr-абелевой. Все собственные векторы для иа (G) будут инвариантны относительно Ua (Ям) (теорема 4.3.31), где Яш — аннулятор стр (Ua). Это показывает, что со не может быть Ям-эргодическим и должны найтись нетривиальные разложения по отношению к самой подгруппе Ящ или любой ее подгруппе. Но теперь учтем, что группа G/Ha двойственна группе стр Ш и что G/Ящ компактна тогда и только тогда, когда стр (?/щ) дискретна. Таким образом, получено
