Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
с помощью линейного отображения ассоциированного с ц по лемме 4.1.21:
/ е L“ ц) ^ м (/) = (/) € S3 = L°° (М, т).
444
4. Теория разложения
Отметим, что
* (V) = (V)= (g) ^ u<*(g)_l = ТйХ
ковариантный закон преобразования для хд выводится из G-инвариантности |j, при помощи соотношений, полученных в доказательстве теоремы 4.3.38. Кроме того,
m (я (/)) = Фи. (/) &ю) = И (/)•
Предположим теперь G-абелевость пары (ЗТ, со). Условие со ? S’ тогда
равносильно тому,что Оюбудет единственным с точностью до множителя ^/ш(0)-ин-вариантным вектором в (в соответствии с теоремой 4.3.17). Тем самым, если
Р ? 33 — проектор на G-инвариантное m-измеримое множество, то Tg (Р) = Р и поэтому
U<0 {§) P&Q) = Р&Ы = при всех g ? G и некотором Я ? С. Но для 58 вектор ?2М отделяющий, так как §8 = яи (Й)'; следовательно, Р = Ц или 0. Итак, m — эргодическая мера для действия группы G.
Наконец, если со ? «S’ (?щ) и пара (ЗТ, со) является G-абелевой, то для
унитарных собственных элементов Vy ? (Щ)' группы автоморфизмов т
Y € ffp (Ua)Y = {яш (Я) и Ра}'< в силу теоремы 4.3.31. Пусть 330 обозначает С*-алгебру, порожденную {^,7 € € стр (Ua)}\ тогда S3 = ЗЭо = {ям (Щ) U Ям}' будет алгеброй фон Неймана,
ассоциированной с ортогональной мерой, определенной по Рш. Таким образом, М можно заменить в предыдущей конструкции на спектр алгебры 9%, так что 9% = С (М) ?= L°° (М, т) = 93. Поскольку всякий элемент S ? ®0 является равномерным пределом полиномов от собственных элементов группы т, то т Действует на 580 сильно непрерывно, а равномерное замыкание орбиты {Xt (В); t ? G) компактно. Последнее вытекает из рассуждений, дающих характеризацию почти-периодичности, указанную перед предложением 4.3.40.
Замечание. Если в первом утверждении предложения предположить сепарабельность [33flffl], где 33 ?= (Я)' — алгебра
фон Неймана, ассоциированная с ja, то можно усилить заключение о "‘-изоморфизме и. Общий результат фон Неймана (см. замечания и комментарии) показывает, что существуют такие подмножества г Е% с (а (Ец) 1 и Мт гмст (Мт) = 1 и такой боре-левский изоморфизм г| из Е^ в Мт, что
f (Л«) = (х-1Л (»)
при всех со ? и f ? L°° (М, т).
Последнее утверждение предложения 4.3.42 можно усилить, располагая более подробной информацией о носителе ортогональной меры [г, ассоциированной с Р0. Наша следующая цель — показать, что если носитель [г содержится в ?щ(С), то соответствующее разложение м можно часто выразить как усреднение состояния й 6 & {Ещ0)) по его орбите. Для доказательства этого ре-
4.3. Инвариантные состояния
445
зультата и для проведения аналогии с предыдущими разложениями относительно нормальной подгруппы полезно располагать еще одной, четвертой характеризацией почти-периодических функций — в терминах компактификации G.
Если G — локально-компактная абелева группа, то мы обозначаем через Gd ее двойственную группу, снабженную дискретной топологией. Согласно теории двойственности Понтрягина группа
G, двойственная к Gd, является компактной группой. Рассмотрим отображение а группы G в G, заданное формулой
(у, t) = (at, у)
при всех / ? G и у ? Gd- Можно показать, что а оказывается непрерывным изоморфизмом G на плотную подгруппу a (G) в G. Группу G обычно называют воровской компактификациеш (или компактификацией Бора) группы G. Ею можно воспользоваться для того, чтобы охарактеризовать множество почти-периодических функций A (G) следующим критерием.
Пусть / — ограниченная функция на G; тогда эквивалентны следующие условия:
(1) f€ A (G);
(2) имеется такая функция h ? G (G), что
f (t) = h (at) при всех t ? G.
Отметим, что вследствие плотности a (G) в G данная характери* зация устанавливает такой *-изоморфизм a: f ? С (G) t—> а/ ?
6 Л (G), что
(а/) (f) = / (af) при всех ? ? G.
Далее, упомянем, что определено действие т группы G на А (G), задаваемое формулой (т,/) (t') =* f (t + ?), и существованием единственной меры Хаара d? на G гарантируется существование инвариантного среднего М. на А (G). При всех / ? С (G) выполняется соотношение
М (af) = \ dl f (1).
G
Существование и единственность среднего УИ можно установить и с помощью других характеризаций A (G). Например, можно задать М как линейный функционал на A (G), удовлетворяющий условиям: М (у) = 0 для всякого характера у, отличного от тождественного характера i, а М (i) = 1. Действительно, пусть М' — любое инвариантное среднее на А (G). Если у ? G, то
(ЪУ> О = (У, «') = (7, t) (у, П
446
4. Теория разложения
и, следовательно,
М'- (t,y) = М' (у) = (у, О М' (у) при всех t ? G. Значит, М' (у) = 0 при всех у, кроме i. Тем самым инвариантное среднее М будет определено единственным образом на Т (G), а по непрерывности оно единственным образом продолжается на A (G), Третью характеризацию М можно дать в терминах орбит \xtf\ t ? G}. Для каждой функции / ? A (G) можно проверить, что замкнутая выпуклая оболочка ассоциированной с ней орбиты содержит единственную константу М (/), и эти константы определяют инвариантное среднее.
