Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
©
Шп = \ dp (г) Шп (г), z
то пересечение Шп также является прямым интегралом алегбр фон Неймана и
®
П ая„ = Jdn(z)(naMz))
Интересное следствие этого результата мы получим, рассмотрев
©
разложение § = J dp (г) ф (г) пространства ?>, соответствую-z
щее центру 3 = ЗЯ П по теореме 4.4.3. Воспользовавшись утверждением а) и положив Шгх = Ш и = Ш' в б), мы придем к равенству
©
з = j^(z)(9K(2) naR(z)'). z
Но так как 3 в точности состоит из диагонализуемых операторов в ф, мы убеждаемся, что при почти всех г ? Z
Ш(г) Л Щг)'=С%(г),
т. е. Ш (г) при почти всех г оказывается фактором. Тем самым проблема классификации алгебр фон Неймана с сепарабельным преддвойственным пространством сводится к двум проблемам: классификации стандартных мер и классификации факторов с сепарабельным преддвойственным пространством. Как известно,
4.4. Пространственное разложение
457
всякое стандартное измеримое пространство Z либо^счетно, и тогда все его подмножества измеримы, либо изоморфно единичному отрезку [0, 1 ], снабженному обычной борелевской структурой. Таким образом, основную трудность представляет проблема классификации факторов, которую мы уже кратко обсуждали в пункте
2.7.3.
Обратимся теперь к самой важной теме данного пункта — разложению представлений. Пусть заданы стандартное пространство (Z, [i), прямой интеграл гильбертовых пространств^
©
& = J dp (г) ? (г)
z
и г(§, л) — такое невырожденное представление С*-алгебры ЗХ в что каждый оператор я (А) разложим. Воспользовавшись
сепарабельностью, с помощью обычных рассуждений нетрудно показать, что для ji-почти всех г ? Z существует такое представление я (г) алгебры 31 В ф (г), что 2 н-э- я (г) (А) измеримо и
®
я (А) = j dp (z) я(г) (А) z
при всех А ? 31. Разумеется, в таком случае говорят, что г н-> ь-»• я (г) измеримо, и пишут
®
я = j dp (г) я (г). z
Из теоремы 4.4.3 и вышеупомянутого факта сразу же вытекает
Теорема 4.4.7. Пусть я—невырожденное представление С*-ал гебры ЗХ в сепарабельном гильбертовом пространстве § и 23 — абелева подалгебра фон Неймана коммутанта я (31)'. Тогда существуют стандартное измеримое пространство Z, положительная ограниченная мера ji на Z, измеримое семейство z i—> § (г) гильбертовых пространств на Z, измеримое семейство г \—=> я (г) представлений i в (г) и унитарное отображение
®
f/:? ->¦ j d|x(2)?(2), z
такие что U 23 U* совпадает с множеством диагонализуемых
©
операторов в j dp (z) ? (г) и при всех А ? 31 z
©
U я (A) U* = j dp (г) я (г) (А),
Z,
458
4. Теория разложения
Это важнейшая теорема для пространственных разложений представлений, и в общей постановке сразу же напрашиваются два естественных выбора для 58:
(1) 23 — максимальная абелева в я (91)' (экстремальное разложение);
(2) 58 = я (91)' П я (91)” (факторное разложение).
Приводимое ниже следствие является аналогом теорем 4.2.5 и 4.2.10 для пространственных разложений. Действительно, из теоремы 4.4.9 следующего пункта вытекает, что обе эти теоремы можно вывести из следствия в том случае, когда со содержится в грани F, удовлетворяющей условию сепарабельности S. Тем самым возникает доказательство этих теорем без применения теории барицентрических разложений, а в том случае, когда со порождает представление в сепарабельном гильбертовом пространстве, мы получаем обобщение на этот случай утверждений указанных теорем о свойствах множеств сосредоточения меры.
Следствие 4.4.8. Пусть я — невырожденное представление С*-алгебры 91 в сепарабельном гильбертовом пространстве §,58 — абелева подалгебра фон Неймана в я (91)' и
®
я = [ d\i (г) я (г) z
— разложение я, соответствующее 58.
а) Эквивалентны следующие условия:
(1) я (г) неприводимо для р-почти всех г ? Z;
(2) 58 — максимальная абелева подалгебра в я (91)'.
б) Если 58 = я (91)" Г|я:(%)", то я (г)—фактор-представление для р-почти каждого г ? Z, и в этом случае
©
я (91)" = j d\i (z) (я (г) (91))". z
Доказательство, (al) =>- (а2). Предположим неприводимость я (г) для почти всех г и возьмем А ? §8' Г) я (Щ'. Так как А ? §8', то оператор А разложим:
©
А = j d\i (г) А (г). z
Но для каждого В ? выполняется равенство я (В) А = Ап (В). Поэтому я (г) (В) А (г) = А (г) я (г) (В)
