Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
При другом определении на семейство пространств приходится наложить условие, которое при определении 4.4.1 А выполнено тривиальным образом.
Определение 4.4.1Б. Пусть ^"обозначает пространство функций на Z, таких что \ (г) (j ф (z) при каждом z (j Z. Семейство {?> (z); г (j Z) называется измеримым, если существует последовательность функций {?„} в IF, такая что
(1) функция z н-» (z), Em(z)) измерима по мере ft на Z при всех п, т\
(2) множество {?,, (z); «=1,2, ...} плотно в ф (z) при каждом z (j Z.
Если семейство {ф (z)} измеримо, а V — линейное подпространство вТ, то V называется измеримым в том случае, когда
(Г) для любых I, г] (j V измерима функция z н-» (? (г), r| (z));
(2') имеется счетное семейство {?„; п = 1, 2, ... } V, такое что множество \1п (z); п = 1, 2, ... } плотно в § (z) при каждом г е Z.
По лемме Цорна всякое подпространство, удовлетворяющее условиям (Г) и (2'), содержится в некотором максимальном подпространстве V удовлетворяющем этим условиям.
Рассмотрим в таком максимальном V множество ф, состоящее из элементов ?, Для которых
J (z) I Е (z)]|2 < °о .
z
Тогда ф оказывается гильбертовым пространством, если ввести скалярное произведение формулой
(?,т|) = j dH.(z)(?(z),T|(z)).
z
Будем называть ф прямым интегралом семейства (z)| и писать
? = J du(z)$(z),
z
Эквивалентность определений 4.4.1 А и 4.4.1 Б, а также независимость второго определения от конкретного выбора максималь-
452
4. Теория разложения
ного измеримого подпространства V следуют из приводимой ниже структурной теоремы. Метод ее доказательства напоминает процесс ортогонализации Грама—Шмидта.
Теорема 5.4.2. Пусть fx — стандартная мера на Z, { ?(z), z f Z] — измеримое семейство гильбертовых пространств и ? §2 ? ... ? §К0 — возрастающая последовательность гильбертовых пространств, причем dim §„ = п. Если обозначить
Zn = {z ? Z; dim § (z) = n\,
mo Zn образуют разбиение Z на измеримые подмножества.
Если V — максимальное измеримое подмножество в 5Г и § — ассоциированное с ним гильбертово пространство, то существует унитарный оператор
V '¦ ? —’• 0 (^2 (zn, d\i) ® ?п),
п=1
который действует следующим образом: для каждого z ? Zn ? Z имеется унитарный оператор U (z): § (г) -> и если ?6 т0
т (z) = и (z) i (z).
Ко
Здесь мы рассматриваем ф (L2 (Zn\ dp) ® ?„) как множество
п=1
функций г] из Z в таких что т] (г) d[$n'npu z ? Zn.
Немедленным следствием этой теоремы является такое заключение: если 1/0, Vi — два максимальных измеримых подпространства в и •§„, — ассоциированные сними гильбертовы простран-
ства, то при каждом z ? Z существует унитарный оператор V (z) в § (г), такой что соотношением
(УБ)(г) = V(z)l(z), I 6 §0,
задается унитарный оператор V: §0 -> §i- Следовательно, интеграл
®
?0 = J dp(z)$(z)
z
определен единственным образом с точностью до унитарной эквивалентности указанного типа.
Поскольку мера fx стандартна, гильбертово пространство
©
J dfx (z) ? (z) сепарабельно. Полезно также отметить, что если z
подпространство
J dfx(z)?(z) z
4.4. Пространственное разложение
453
обладает свойствами:
(1) {? (г), ? ? V) плотно в § (г) при каждом z ? Z;
(2) для любых ? ? У и / ? L°° (Z, d[i) равенство (/?) (z) = = / (г) ? (z) определяет элемент подпространства V,
то V плотно в j d\i (z) § (z) (разумеется, можно воспользоваться
Z
этим, чтобы определить прямой интеграл, не прибегая к максимальным измеримым подпространствам). Доказательство совсем просто. Если ? ? то
J d\i (г) / (z) (? (z), rj (z)) = О
при всех / ? L°° (Z; d[i) и rj ? V. Поэтому (? (г), т| (г)) = О для ц-почти всех z, т. е. ? (г) = О для ц-почти всех г, или ? = 0. С аналогичными результатами мы встретимся и позже, например в теореме 4.4.5.
Введем теперь понятия разложимого и диагонализируемого операторов в прямом интеграле гильбертовых пространств 6 =
©
= J d\y (z) § (z), определенном по максимальному измеримому z
подпространству V. Для каждого z ? Z пусть Т (г) ? & (ф (г)). Если (г 7 (z) ? (z)) ? У при всяком ? ? У, то z нн* Т (z) называется измеримым семейством операторов. В таком случае будет измерима функция г ь-|| Т (z)||. Если эта функция существенно ограничена, то ? ? § влечет Т? ? ф, где вектор Т? определяется соотношением
(П) (Z) = Т (Z) ? (г).
Отображение ? Г? задает ограниченный оператор Т в Любой оператор такого вида называется разложимым и обозначается так:
