Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
определенное в лемме 4.1.21, обязано быть *-морфизмом, а тогда из теоремы Томиты (предложение 4.1.22) последует ортогональность ji.
Пусть /—>¦ Т (/) обозначает естественный *-изоморфизм между L°° (ji) и диа-
гонализуемыми операторами в §д = j dp (со') фш,, т. е. для / ? L°° (,u)
F
©
T(f) = jdji (m') / (<в') ^
F
Из цепочки равенств
(Яд (Л) Йд, 1/Кц (/) и*пд (В) Йд) = (яш (А) Йш, хд (/) яи (В) Йи)
= (Qto. (/) (А* В) йи) = j dfi (со') / (со') со' (А*В)
F
©
= (со') (яш, (Л) Йи,, / (со') (В) Йм,)
= (Яд (Л) Йд, Т (/) Яд (В) Йд)
мы выводим: хм (/) = (/) ?/, так что / I—s- Хд (/), — действительно, *-мор-
физм. Отметим еще, что совпадает с множеством диагонализуемых опе-
© _ раторов в фд, а яш = j dp (со') яш, в этом случае оказывается пространствен-F
ным разложением представления яш, отвечающим ЗЗд s яш (ЭГ)'. Этим доказывается последнее утверждение теоремы.
462
4. Теория разложения
(2) => (1). Сначала напомним, что линейная оболочка множества \Т (/) (Ап> k) Од; f?L°°(p); п, k> 1}
0 4 плотна в фд = j dp (со') ?>ш,, согласно замечаниям, сделанным после теоремы
/¦- к;*-
4.4.2. Таким образом, для доказательства цикличности Од для Яд надо показать, что при любых е> 0, / ? L°° (j-i) и А ? St существует такой элемент В ? St, что
II лц (в) йд — Т (!) яй (А) Од || > е.
Но
лд (В) Од - Т (/) Яд (А) Од |Р = (Од, я(1 (В*В) Од) - (Од, Т (/) я(1 (Б*А) Од)
- (Пц. Г (!) яц (Л*В) Од) + (Од, Г (//) Яд (ЛМ) Од)
= j dp (w') w' (B*B) — j dp (й>') / (со') to' (В*Л) —
F F
— jdfx (to') /Т®7!0)' (Л*В) -f j dp (со') I / (со') i2 to' (ЛМ)
F F
= (Qfi)» (B*B) QJ — (Qa, Ид (/) яа (В*А) QJ
(Ow, Хд ( f) яй (A*B) OJ -|- (0Wi Хд (f/) Яд, (Л*Л) QJ.
Если мера ц ортогональна, тоХд (//) = Хд (/)* Хд (/) по теореме Томиты; следовательно,
II Яд (В) Од — Т (/) Яд (А) Од IP = II яш (В) Ои - Хд (/) яш (Л) Ош |р.
Ввиду цикличности Ои для яШ) последнее выражение можно сделать меньше е2 за счет надлежащего выбора В.
Замечание. Даже если [х не ортогональна, из последней части доказательства ясно, что линейная оболочка множеств Т (/) ?дфд, f ? L°° (Н-). плотна в ?>M. Поскольку Т (/) ? (91)', представле-
ния яш и Яд квазиэквивалентны при всех ц, ? Мш (Ещ) (см. определение 2.4.25).
Если со—такое состояние С*-алгебры % с единицей, что ?>а сепарабельно, а [х ? С7(0(?’щ), то [х изоморфна стандартной мере, как показывает следующее рассуждение. Абелева подалгебра 33 с= (91)', соответствующая ^х, изоморфна LOT (jx), согласно предложению 4.1.22. Но так как 23 действует в сепарабельном гильбертовом пространстве ?>.0, то L°° (fi) содержит некоторую сг-слабо плотную сепарабельную С*-подалгебру 6. Если (Ё = = С (X) —- гельфандовское представление 6, то пространство X компактно, отделимо и удовлетворяет второй аксиомесчетности, а потому метризуемо. Мера ц задает на L°° (^х) нормальное состояние, сужение которого определяет состояние на С (X). Это состояние представимо регулярной мерой Бореля (д.0 на X, и вложением С (X) в L°°(jx) определяется *-изоморфизм L°° (X, dp0) на
4.4. Пространственное разложение
463
L°°(Es,i, d\i). Отождествляя измеримые подмножества, факторизованные по множествам нулевой меры, с соответствующими проекторами, убеждаемся, что этот *-изоморфизм сохраняет меру, так что (л будет *-изоморфна в указанном смысле стандартной мере ц.„. Значит, повторив процедуру, описанную в начале пункта, и применив метод доказательства теоремы 4.4.9, можно произвести следующее отождествление:
Теперь мы можем частично обобщить теоремы 4.2.5 и 4.2.10 и предложение 4.3.2.
Теорема 4.4.10. Пусть состояние а>на С*-алгебре 91 с единицей таково, что сепарабельно гильбертово пространство соответствующего представления. Пусть 23 ¦— абелева подалгебра фон Неймана в (91)', и пусть ей соответствует ортогональная мера
(1) Если 2} — максимальная абелева подалгебра коммутанта (91)', то существует такое ^-измеримое подмножество В s
Е Е%, состоящее из чистых состояний, что [г (В) = 1.
(2) Если 33 = яш (31)' П (91)", то существует р-измеримое подмножество В s Е%, состоящее из факторных состояний, с (л (В) = 1.
(3) Если G — группа и g ? G i—> rg ? Aut (91) — ее представление *-автоморфизмами 91, © ? Е^ и 23 — максимальная абелева
подалгебра в (91) U (G)}', то существует р-измеримое подмножество В е^, состоящее из G-эргодических состояний, с (л (В) = 1.
