Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Замечания и комментарии
475
Теорему Мазура, цитированную при рассмотрении свойства асимптотической абелевости, можно найти в книге Иосиды [[Yos 1]]. Она сразу же выводится из того факта, что если К — замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства X и л: ? X \ К, то можно указать такой непрерывный аффинный функционал ф на X, что ф (х) > 0 и ф (К) ? (— оо, 0 ].
Пример 4.3.25 взят из [Rob 4].
Пример 4.3.26 принадлежит Рюэлю. Первый пример метризуе-мого симплекса, крайние точки которого образуют плотное множество, был построен Пульсеном [Рои 1 ] в 1961 г., а Линденштраусс, Ольсен и Штернфельд в 1976 г. показали, что этот симплекс с точностью до аффинного гомеоморфизма единствен [Lin 1 ]. Эти авторы также доказали, что симплекс Пульсена S однороден в том смысле, что всякий аффинный гомеоморфизм между двумя гранями Fx и F2 в 5 можио продолжить до аффинного автоморфизма 5. Кроме того, они доказали универсальность 5, т. е. возможность реализовать всякий метризуемый симплекс в виде замкнутой грани симплекса 5. Фактически симплекс Пульсена характеризуется во множестве метризуемых симплексов однородностью и универсальностью. Другая крайность — это симплексы К,, для которых множество <& (К) замкнуто. Такие симплексы обычно называют симплексами Бауэра; они сводятся к вероятностным мерам на отделимых локально-компактных пространствах. (См., например, [ [Alf 1]].)
Пункты 4.3.3 и 4.3.4
Теорема 4.3.27 получена в [Jad 1], а теорема 4.3.31—в [Kas 1. ] В последней работе также введено понятие бг-абелевости. Аддитивность полного спектра при условиях теоремы 4.3.33 известна давно. Идея доказательства может быть найдена уже в работе 1961 г. [Wig 1 ].
Условие принадлежности фактора к типу III, данное в примере 4.3.34, принадлежит Стёрмеру [St04], но впервые такого типа результат был получен Хугенхольцем [Hug 1 ].
Теорема 4.3.37 взята из работы [Rob 4]. Она, в сущности, принадлежит Жинибру. Первый результат такого рода встречается в [Kas 1] (для локально-компактных абелевых групп). Теорема 4.3.38 доказана Робинсоном [Rob 5].
Эквивалентность различных условий, характеризующих почти-периодические функции, которой мы воспользовались, обсуждается в [ [Dix 2] ]. На самом деле теорию можно обобщить на неабелевы группы, если заменить характеры на коэффициенты неприводимых конечномерных унитарных представлений. В этом контексте результаты о точечном спектре для G-эргодического состояния были частично обобщены Доплихером и Кастлером [Dop 3].
476
4. Теория разложения
Предложение 4.3.42 имеется в [Rue 1 ]. В этой статье также приведено уточнение последнего из утверждений предложения и, в частности, дано разложение со ? & виДа
со (Л) = j dg х(Л) (т|*)
а
при некотором х ? М. Действие G на М оказывается транзитивным, поэтому данное разложение не зависит от выбора х ? М. Кроме того, если принять предположения о сепарабельности, сформулированные перед предложением 4.3.42, то можно записать
х (Л) (т|к) = Л ('П~1т^л:), где т]— борелевский изоморфизм, определяющий х, который переводит Ец s Е% в Мт ? М. Возникает соблазн воспользоваться тем, что х коммутирует с действием G, и записать ц^г^х = т]~1т^т1Й = т§й при некотором й ? Ец. К сожалению, это трудно обосновать, за исключением тривиального случая конечной группы G.
Упомянутый в замечании после предложения 4.3.42 результат фон Неймана можно найти, в [[Dix 1, приложение IV ]].
Пункт 4.4.1
Теория пространственного разложения восходит^к фон Нейману [Neu 3 ], она не претерпела с тех пор существенных изменений. Мы следовали подходам, принятым в [ [Dix 1,2]], [ [Sak 1 ] ],
[ [Sch 1]]. Классификацию стандартных измеримых пространств, упомянутую после предложения 4.4.6, получил Макки [Mac 1 ].
Пункт 4.4.2
Теорема 4.4.9 и последующее замечание взяты из работы Эффро-са [Eff 3]. Разложение я а бесконечности (теорема 4.4Л) было изучено Рюэлем [Rue 1 ], а свойство слабого перемешивания из теоремы 4.4.12 было установлено Кастлером и Робинсоном [Kas 1]. Доказательство метризуемости локально-компактной группы, удовлетворяющей второй аксиоме счетности, можно найти в [[Hew 1, теореме 8.3] ].
ЛИТЕРАТУРА1'
Учебники [[Alf 1]]
[[Arnl]]
[[Arv 1]]
Pon 1]]
[[Bou 1]]* [[But 1]]
HCho 1]]
[[Dav 1]] [[Dix 1]]
[[Dix 2]]* [[Dun I]]*
