Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 4.2.2 принадлежит Скау [Ska 1 ].
Лемма 4.2.3 комбинирует результат Скау [Ska 1] ((1)<=>(2)) и результат Дугласа ((1)<^-(3)). Последняя эквивалентность была установлена Дугласом в [Dou 1 ] для случая произвольного выпуклого компактного К-
Теорема 4.2.4 и - разновидность теоремы 4.2.5 содержатся в [Ska 1]. Более ранний вариант теоремы 4.2.4, утверждающий максимальность ортогональных мер безо всяких условий сепарабельности для 91, встречается в [ [Sak 1 ] ], но данное там доказательство неполно. Однако неизвестны и опровержения такого утверждения.
Пример 4.2.6 можно извлечь из работ Шермана [She 1 ] и Фука-мии, Мисоноу и Такэды [Fuk 2].
Замечания и комментарии
471
Пункт 4.2.2
Центральное разложение состояний было изучено Сакаи в 1965 г. [Sak 1 ]. Его определение центральной меры отличается от принятого нами, но легко убедиться, что оба понятия совпадают. Подробное изложение теории центрального разложения по Сакаи приведено в [ [Sak 1 ] ]; там же доказано, что факторные состояния Fs% на сепарабельной по норме С*-алгебре 91 образуют борелевское подмножество в Е%.
Первое исследование центрального разложения с помощью теории Шоке было проведено Вильсом [Wil 1 ], который позднее анонсировал геометрическую характеризацию центральных мер, содержащуюся в теореме 4.2.12 [Wil 2]. Вилье также распространил понятие центральной меры на случай произвольных компактных выпуклых множеств в отделимых локально-выпуклых пространствах. Детали такого обобщения читатель найдет в [ [Alf 1 ]] и [Wil 3].
Пункты 4.3.1 и 4.3.2
Изучение G-инвариантных состояний было начато Сигалом, который ввел термин «G-эргодичность» и охарактеризовал эргодичность неприводимостью множества |яш (91) U Ua (G)} еще в 1951 г. [Seg 3]. Однако основные события в этой области разыгрались значительно позднее и были обусловлены главным образом проблемами математической физики.
В начале 60-х годов разными авторами исследовалась проблема неприводимости релятивистских квантовых полей. Существенным моментом при этом являлось изучение R-инвариантных состояний со, для которых о (?/„) ?= [0, оо). Было выяснено, что такое спектральное условие в сочетании с некоторой коммутативностью влечет свойство Ua (R) <= яш (1)", а потому свойства эргодичности и чистоты со совпадают (пример 4.3.34). Кроме того, эргодичность была охарактеризована «единственностью вакуума», т. е. единственностью, с точностью до множителя, Uw (ф-инвариантного вектора. Последнее свойство указывало на то, что разложение со по чистым состояниям определяется «диагонализацией» операторов
и появились различные виды разложений, несущих на себе отпечаток разложения относительно ортогональной меры, соответствующей Еа (см., например, [Ага 5], [Вог 1], [Ree 1], [Rue 3]).
Проводившееся . в это же время изучение моделей нерелятивистской теории поля указывало на то, что G-инвариантные состояния со, для которых неприводимо {яш (91) U Ua(G)\, играют
472
4. Теория разложения ,
главную роль в описании термодинамического равновесия, однако понятие G-эргодичности было утеряно (см., например, [Ага 8, 9], [Haag 3], [Rob 3]. Наконец, в 1966 г. Доплихер, Кастлер и Робинсон [Dop 1] получили вариант теорем 4.3.17 и 4.3.22, охарактеризовав эргодические состояния для группы Rv. (В этой статье впервые появилось предложенное Робинсоном понятие асимптотической абелевости.) После этого Кастлер и Робинсон [Kas 1 ] и Рюэль [Rue 2] независимо дали изложение результатов по теории эргодического разложения состояний. В их статьях содержалась большая часть элементов, необходимых для построения полной теории в представленном выше виде, как то: теория Шоке, асимптотическая абелевость, спектральный анализ, разложение по подгруппе и т. д.; они инициировали поток работ по данной тематике.
Предложенная Рюэлем конструкция эргодического разложения была подготовлена предшествующим изучением состояний классической статистической механики, которое позволило на интуитивном уровне осознать структуру ортогональной меры [Rue 4 ]. Рассмотрим для простоты С*-алгебру 91, порожденную одним элементом А и его сдвигами тх (А), х ? JR3, под действием группы R3. Можно интерпретировать ее физически как описание системы с одной наблюдаемой А, скажем, числом частиц в начале координат, а хх (А) соответствует той же наблюдаемой в точке х. С А и всякой подсистемой Л = R3 можно ассоциировать макроскопическую наблюдаемую
например, ЛЛ в данном случае будет истолкована как плотность частиц в объеме Л. Распределение значений таких макроскопических наблюдаемых в состоянии со полностью задается тогда набором моментов со((-ЛЛ)'1). Но если со обладает К3-инвариант-ностью, т. е. система однородна в пространстве, то распределение, не зависящее от размеров области, определяется моментами для бесконечного объема Л, т. е. величинами
л
Хп-о Ям (А) Й J = (йв,:яв (А) Еапа (А) Еа ...
• • • ?>а>(Л)Йю).
Таким образом, значение на Ап ортогональной меры ц., соответствующей представляет п-й момент распределения значений
