Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
bif - /||оо<е.
При таком определении следующие условия эквивалентны (см. замечания и комментарии):
(1) / € A (G);
(2) f непрерывна, и для каждого е > 0 найдется такое конечное подмножество В s G, что Аг + В — G, где А& обозначает множество всех е-перйодов /;
(3) / ? (G), и равномерное замыкание орбиты {т,/; / ? G}
компактно в L°° (G).
Эквивалентность условий (2) и (3) станет более прозрачной, если заметить, что множество в полном метрическом пространстве имеет компактное замыкание тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено. Таким образом, условие (3) равносильно такому утверждению: для любого е > 0 существует конечный набор элементов 11, t2, .... tn ? G, для которого
inf <8
1 < i <с п 11
при всех t ? G. Но это равносильно тому, что для всякого t ? G найдется такой элемент /' ? В = \ti, ¦¦¦, tn}, что t — I' является e-периодом /.
Предположим, теперь, что G действует как группа *-автомор-физмов т на С*-алгебре 91 с единицей. Естественно назвать со-
440
4. Теория разложения
стояние со на 51 почти-периодическим, если функции t ? G V—w (xt (А)) входят в A (G) при всех А ? 51. Если ?щ;<0) обозначает множество таких состояний, то Е%<а) выпукло, но не обязательно слабо* компактно. С этим связаны определенные трудности на пути построения теории разложения по почти-периодическим
состояниям. Тем не менее для ортогональных мер справедлив следующий результат.
Предложение 4.3.40. Пусть С*-алгебра 51 имеет единицу, локально-компактная абелева группа G допускает представление х в Aut (51) и имеется G-инвариантное состояние со на 51. Предположим, что представление Ua сильно непрерывно, и обозначим проектор на подпространство Um (С)-почти-периодических векторов
через Ра. Существует взаимно-однозначное соответствие между
(1) ортогональными мерами ц на Е$ц с барицентром со, обладающими свойством:
t ? С (1 (т, (/j) /2)
— почти-периодическая функция при всех /ь /2 ? С (Е^у,
(2) абелевыми подалгебрами фон Неймана 33 в коммутанте
К (51) и Я,}';
(3) ортогональными проекторами Р в §ш, для которых
PQa=Qa, Р<?а,' Рла(ЩР^\РпМР\'.
Замечание. Это предложение абсолютно аналогично соответствующему результату для инвариантных состояний (предложение 4.3.1). Отметим, что в условии (2) упомянутого предложения фигурирует
к (51) и^а(С)}' = К(51) и ?»}',
где Ем — проектор на подпространство ?/в(С)-инвариантных векторов (равенство этих коммутантов получено в ходе доказательства утверждения (4) теоремы 4.3.27). Кроме того, свойство U® (g) Р = Р в условии (3) предложения 4.3.1 можно переписать в виде Р < Еа.
Доказательство. Мы вновь воспользуемся установленными в теореме 4.1.25 общими результатами о соответствии между ортогональными мерами (х, абелевыми подалгебрами фон Неймана 93 Е ящ (St)' и проекторами Р, такими что РС1Ш = и Рла (St) Р = {Рл.а (St) Р}'¦ Нашей задачей будет учесть условия почти-периодичности.
(1) => (2). Если ц удовлетворяет условию почти-периодичности, то функция
t € G 1—> (^в. (A) Uа (<) (/) Ои) = |х (т_, (Л) /)
4.3. Инвариантные состояния
441
при любых А ? 81 и f ? С будет почти-периодической. Вследствие цикличности [хм (f) Q(J)] < Ри. Далее, заметим, что
Ид (/) Ua> (0 яи (В) = лю (it (В)) Кц (/) Qa = (т, (В)) РюХц (f) ?3Ю =
2 (У' (0 (В) Ри lV] Ид (/) ^ю-
V € о
Принимая во внимание, что
(яю(Л)?2ю> хм (/) Рюяи (В) Q J = S
v'€g
имеем
(яш (Л) йш, хд (/) Ршяш (В) fij =
= 2 М (V'Y И) (В) [?] хд(О 0J)
V'. v€ G
= (ли(^)Й(о.Рш[7'7]я;и(В)Р(В[7]хд([)0(1))
V'iV 6 с
= (я^ (Л) Йи, Ршяи (В) РшХд (f) QJ = (яш (Л) Йш, РшХд (/) яш (В) QJ. Это означает, чтохм (f) ? {ям (Щ) U Рш'}. Но 93={Хд (f)\ f ? С (Ящ)}*. так что 23 Е {ям (SC) U Ра,}'. Тем самым мы установили импликацию (1) => (2), а из
>¦4
равенства Р = [93ЙЮ ] немедленно следует, что Р с Рм, т. е. (2) =>¦ (3). Остается доказать, что (3) => (1). Но
fi (^t (fi) М — (^?i)> Ид (fx) (0 *Ид (ft) ^<о) “
— (^Ш1 Ид (/а) (/ц, (/) 1РиХд (fa) Q J,
согласно основной структурной теореме для ортогональных мер (теореме 4.1.25),
и, таким образом, эта функция почти-периодична при всех flt f2 € С (¦?$)•
Следующий результат характеризует основные свойства мер, введенных в предложении 4.3.40.
Предложение 4.3.41. Пусть локально-компактная абелева группа G действует на С*-алгебре 91 с единицей как группа *-автоморфизмов т (G), и пусть состояние со является G-инвариантным, а представление U;o сильно непрерывно. Если ц ? Оа (/%) и функция
