Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с результата о существовании разложения по отношению к нормальной подгруппе. Он интересен тем, что не требует никаких специальных предположений о структуре 31, кроме непрерывности действия группы.
Теорема 4.3.37. Пусть G — топологическая группа, а Н—такая ее нормальная подгруппа, что факторгруппа GIH компактна. Пусть dg обозначает нормированную меру Хаара на G/Н. Предположим, что G действует как сильно непрерывная группа^*-автоморфизмов х на С*-алгебре с единицей, и пусть со ? (Е%).
Тогда найдется вероятностная мера |л0 с барицентром со, сосредоточенная на некотором замкнутом подмножестве в &(Е^), а потому максимальная относительно упорядочения )>. Кроме того, существует (о ? & (Е%). такое что
И» (/) = \ d'gf (т*м) в/н
для каждой функции f ? С (Ещ.) и, в частности,
со (А) = J dga (xg (А)) в/н
при всех А ? 91. Если пара (51, со) является Н-абелевой, то щ — единственная максимальная мера на Е^_ с барицентром со и она совпадает с ортогональной мерой, соответствующей {п,л {%) U и.л(Н)}',
Доказательство. Если взять А ? Щ и со ? Е^, то А (т*со) будет ограниченной непрерывной функцией на G, инвариантной относительно сдвигов на элементы из Н. Поэтому она определяет ограниченную непрерывную функцию
на GlH. Введем среднее от А по группе G/Н формулой
(Я)(ш)= [ (т*со) = | dgc^Tg-,^))
G/H G/H
и докажем, что (А) непрерывно на Ear.
4.3. Инвариантные состояния
433
Пусть g обозначает образ ? при отображении р группы G на факторгруппу G/Н. Тогда' со (xg (Л)) = со (xg (Л)). Для любых s > 0 и g ? G найдется такая открытая окрестность N (g) точки g, что
||xgH)-v (л)||<^-
при всех g' ? N (g). Это —¦ следствие сильной непрерывности т. Но из открытости р вытекает, что N (g) — р (N (g)) является открытой окрестностью для g ? ? G/Н, а поскольку для каждого g' ? N (g) существует g' ? р_1 (g') П N (g)> то с необходимостью
I со (тй (Л)) - ш (v (Л))] <_L
при всех g' d N (g). Далее, пусть N (gi), t = 1, 2, ..., га, — набор окрестностей, выбранных так, чтобы соответствующие N (gi) покрывали компактное пространство G/Н. Рассмотрим какое-либо состояние со' ? со свойством
NT*i(Л)) -ш' (т#,(Л)) I < -г
при всех i = 1, 2, ..., п. Так как каждый элемент g ? G/Я должен содержаться в каком-то N (gi), то
IСЙ (х6 (Л)) - ш (т^ (Л)) | < | со (Tjf (Л)) _ ш (т^. (Л)) |
+ | со (т,. (Л)) - со' (Т?. (Л)) | + | ей' (т,. (Л)) - со' (Л)) | < е
при всех g ? G/Н. Поэтому со' (т^(Л)) сходятся к со (Л)) равномерно по g ? ? G/Н, если со' сходятся в слабой* топологии к со. Тем самым со ? i—s-
i—=»- (Л) (со) непрерывно.
Теперь определим среднее от со ? положив
<со)(Л)= J dga(ye(A)) = (A)(a). а/н
Ясно, что (со) ? и (со) = со для всех со ? ЕДля фиксированного со ? ? & ввеДем множество
Ка = Jco'; со' ? Е^, (со') (Л) = со (Л) при всех Л ? 2Г j
Из непрерывности (Л) следует замкнутость множеств
{со’; со' С (ш') [А) — со (Л)^
так что Ка — замкнутое подмножество компактного множества Это Ка выпукло и непусто (так как со ? Ка), значит, обладает крайними точками.
Мы утверждаем, что & (^чо) — & (^щ)- Действительно, если это не так, то найдется ш ? S (Кш), такое что
СО = Xtoj -{- (1 — X) СО2*
434
4. Теория разложения
где c5j, й>2 € не совпадают ей, а 0< Х< 1. Поскольку Й ? 8 (/Сш), т0 либо $ ЛГМ, либо й2 $ ЛГа. Допустим, aj { Ка. Тогда (й^ Ф со. Но . <о = (й) = Я + (1 — Я) (йа),
в противоречие с предположением, что со ? 8 Поэтому й ? 8
Если взять f С (Ещ^, то при й ? 8 (Ка) функция f (tg«) на G непрерывна и инвариантна относительно правых сдвигов на элементы из Н, и можно задать
Мчо (/) = [ dg/(tg5).
G/H
Функционал |ЛМ на С (Ещ^ положителен, т. е. это положительная мера Радона. Орбита О &= {т|й; g ? G/H}, проходящая через й, замкнута, так как группа G/Н компактна. Далее, если g ? GlH, то т* является аффинным изоморфизмом на и потому отображает <$ (-Ещ) на 8(Е^. Таким образом, О& будет
замкнутым подмножеством в 8 (?щ)- Но (У& является множеством сосредоточения для ^1м, так что (х0) максимальна, согласно предложению 4.1.10. Для всякого
Исо(Л) = <Л>(й) = <й>(Л) = сй(Л);
значит, имеет барицентр со.
Наконец, если пара (81, со) будет Н-абелевой, то алгебра {лм (St) U Uш (Я)}' абелева, согласно предложению 4.3.7, и соответствующая ей ортогональная мера — это |хш, как показывает четвертое утверждение предложения 4.3.7.
Последнее утверждение доказанной теоремы представляет наибольший интерес — оно описывает ситуацию, в которой разложение по G-эргодическим состояниям существует в надлежащей форме и единственно. Заметим, что со, фигурирующее в разложении, также единственно в том смысле, что любое другое со ? & (^щ), которое приводит к аналогичному разложению, должно принадлежать орбите группы т* (G/Я), проходящей через со. Дадим теперь другой вариант этой теоремы, ослабив требования на непрерывность действия G, но введя некоторое предположение о сепарабельности. В отличие от проведенного выше доказательства существование требуемого разложения мы установим, используя Я-абелевость (1, со). Отметим, что такая теорема применима к а-слабо непрерывным группам *-автоморфизмов алгебр фон Неймана.
