Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
II (Si (y-^UJ — Ра [Y-1Ya]) "Фа II < 8/2.
Далее, заметим, что для любой другой выпуклой комбинации Sц II (5ц (YYit/и) Si (YYi^co) - -Ра [YYi]) II < 8/2-
II (sn (Y_1Y2^co) Sk (Y_1Y2^(o) — Pa [Y_1Ya]) l|>2 II < 8/2.
Это — следствие инвариантности и ограниченности; например, sn (YYit/ffl) Ра [YiY] = Ра [YiY]
и II (YYi^co) IK Ь Если взять A ? (Щ)", фг € /’со [Yil
a (Y ^ И)) G Coy (Л) задать формулой
= U bjMY"1.
i> /
то получим
sns\ (y-1^ (Л))* Ф1 = 5ц (YYiиа) s*. (YYit/fi)) Л*фь (v_1i (Л)) ф2 = (Y_1Ya^co) (Y^Ya^o)
424
4. Теория разложения
Поэтому при 11)5= А*ф! и \|з2= Аф2 имеем
I (ф1. (АРа [YiY] в — врч> [YzY-1] А) ф2) — (ф!, [S^S* (y_1t (Л)), В] ф2) | < е.
Но выпуклая комбинация у нас произвольна, следовательно, (1) => (4), а (4) => (1) для фi такого специального вида: ф; = Рш [Yi] Хг- Условие (1) мы
устанавливаем теперь, аппроксимируя ф; ? конечными суперпозициями
векторов вида Ра [уг ] хг.
(3)<=^(4). Условие (3) получается из (4), если произвести суммирование
по Y. Yi. Ъ € G. Обратно, если ф,- = Рш [yi 1 Хг, т
(ф1> ^ (А) РаВф3) = (Фа, ВРйт* (А) ф2) при всех А, В ? яш (St)", а разложения
[YYi] = ? [Y_1Ya]
/- '~ч
V ? G V ? G
дают нам
Ц (Y> t) (Ф1. АРа [Yi7] Вф2) = 2j (Y. О (Ф1. [Y_1Y2] Лфг)-
V 6 G С
Условие (4) вытекает из ортогональности характеров Yi (применяем преобразование Фурье).
(2) <=>. (4). Пусть фг = Ра [уг ] хг. Тогда
М ((Фа, па ([Y-1^ (А). 5]) Ф2))
= М ((фк (яш (A) (yytf1 t/а1 яш (В) — яш (В) угу^и^а (А)) ф2))
= (Ф1. (ли (А) Ра [YYi] яи (В) - (В) Ра [YsY-1] (Л)) ф2);
мы воспользовались тем, что Ра [YYi I — проектор на подпространство векторов, инвариантных относительно унитарного представления VYi^to, и потому М (YYiUш) = Рш [YYi!- Полученная формула и доказывает требуемую эквивалентность.
Установленное предложение позволяет нам вывести заключения относительно точечного спектра, аналогичные заключениям теоремы 4.3.27.
Теорема 4.3.31. Пусть со ? Е%, где G — локально-компактная
абелева группа, и пусть пара (91, со) является вГ-абелевой. Спра-
ведливы следующие утверждения:
(1) ар (U,J s сгр (т), и оба множества симметричны;
(2) если со ? <§ (?щ), т. е. со является G-эргодическим, то для каждого у ? сгр (Ua) существуют единичный вектор
и унитарный элемент Vy ? ли (91)', такие что
Ц» (0 ч>у = (тГО Ъ (уу) = (тГТ) ^
причем и Vy определены единственным образом с точностью до фазового множителя;
4.3. Инвариантные состояния
425
(3) если со ? <§ (?st), то <тр (i/m) является подгруппой в G. Если На — аннулятор <тр (Uш), то
{Vy; У ? С7Р (t/J}" = яи (21)' П
S (а)' п Еа (HJ = па (21)' п иа (HJ,
где Ра — проектор на подпространство, порожденное Um (G)-почти-периодическими векторами, а Еа (Ны) — проектор на подпространство (Н ^-инвариантных векторов. Фигурирующие
в последних соотношениях четыре множества равны тогда и только
тогда, когда Еа (На) = Ра; в частности, это так, когда <тр (U^) счетен и замкнут-,
(4) если Ра равен Иш, то (91)" — максимальная абелева алгебра. Доказательство. (1) Условие (4) предложения 4.3.30 влечет (Qm, АРа [у] BQJ = (Qt0, ВРа [у-1] AQa)
при всех А, В ? яю (St)". Тем самым для у 6 0р (Ua) также и у-1 ? 0р (Ua), так что 0р (Ua) симметричен. Кроме того, если xt (А) = (у, t) А, то
тt (А*) = (у, t) А* = (—у, "0 А*,
так что симметричен и 0р (т). Далее, пусть 7 ? 0р (Ua) и А ? яю (St)" таковы, что Ра [у] ф 0. Если М — инвариантное среднее на СЬ (G), то можно определить ограниченный оператор Ау соотношением
(Ф, Л7г|з) = М ((ф, ух (Л) г|з)),
а поскольку
(Ф, AyQa) = М ((ф, уUa AQ&)) = (ф, Рсо [у] i4QJf
то Ауф 0. Легко видеть, что т1 (/Ц) = (у, t) Ay, поэтому 0р (С/Ю)9=0Р (т).
(2), (3) Пусть т с 0р (цш) и со ? S (?щ)- Множество (яю (Щ) П (G)}
неприводимо в по теореме 4.3.17, и тем самым Ри [у] {яи (Щ) (J Uи (G)}Pm [у] неприводимо в Рш [у] §и. Но
Рш [V] Ко № U Uш (О)} Рю [у] = Ри [у] яи (St) Pm [у],
а ввиду G-абелевости (Щ, со), в правой части равенства стоит абелево множество (см. предложение 4.3.30). Значит, ранг проектора Ра [у] должен равняться единице, и этим установлены существование г|)^, и его единственность с точностью до фазы.
Затем выбираем А ? яю (Щ)" так, чтобы Рш [у] ф 0. Если В — любой другой элемент из яю (Й)", то
II ВРа [у] f = (Ош, А*Ра [у] В*ВРа [у] ЛОи)
