Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Накопленный нами опыт разложения G-инвариантных состояний показывает, что к одной и той же общей эргодической структуре мы приходим, или располагая отделяющим вектором для яш (21)", или при выполнении некоторой слабой формы условия асимптотической абелевости (й, ш). С такой ситуацией мы часто встречаемся в случае точечного спектра, и соответствующая форма коммутационного свойства обобщает условие G-абелевости.
Определение 4.3.29. Пусть 91 обозначает С*-алгебру, G — локально-компактную абелеву группу, допускающую представление *-автоморфизмами т алгебры 21, а со — такое G-инвариантное состояние 21, что соответствующее унитарное представление иш группы G сильно непрерывно. Пара (21, со) называется Gr-абелевой, если
inf | фх, я(0([Л', 5])сра)| = 0
А' ? Со ух (А)
при всех А, В ? 21, у ? G и <рх, ф2 ? Ра$ш где Со 7т (Л) обозначает выпуклую оболочку множества {(7, t) %t (Л); t ^ G\.
422
4. Теория разложения
В следующем пункте мы покажем, что свойство 6г-абелевости характеризует единственность максимальных мер ? Ма (Ещ), которые сосредоточены на соответствующем классе периодических или почти-периодических состояний. Тем самым Ог-абелевости присущ ряд свойств, характерных для G-абелевости. Точно таким же образом, как G-абелевость можно охарактеризовать коммутативностью \Еапа (91)" Еа} (предложение 4.3.7), так и Gr-абеле-
вость характеризуется коммутативностью (ЗД)"/5,,,}. Кроме
того, это свойство можно охарактеризовать с помощью инвариантных средних. Такие средние были кратко обсуждены в пункте 4.3.2 в контексте произвольных групп G; в случае локально-компактных абелевых G сравнительно просто установить их существование.
Прежде всего рассмотрим С*-алгебру Сь (G) ограниченных непрерывных функций на G, снабженную обычной sup-нормой. Группа G действует как группа *-автоморфизмов т алгебры Cb(G), а именно (тtf) (f) = f (tf). Сопряженные операторы задают действие G на двойственном пространстве Сь (G)*, и выпуклое множество всех состояний инвариантно относительно этого действия. Так как G абелева, то теорема Маркова—Какутани о неподвижной точке гарантирует существование G-инвариантных состояний на Сь (G); такие состояния и называются инвариантными средними. Аналогично можно определить инвариантные средние над всякой С*-подалгеброй в Сь (G), которая инвариантна относительно т. Инвариантными средними часто можно пользоваться вместо сетей выпуклых комбинаций, применявшихся нами ранее. Для демонстрации такой возможности рассмотрим сильно непрерывное унитарное представление U группы G в гильбертовом пространстве ф. Применяя инвариантное среднее М к функциям
ф, ?/(/)1|з) ? Сь (G), мы задаем ограниченный, линейный оператор Е в §, для которого М ((ф, Uy)) = (ф, Еф).
Согласно эргодической теореме (предложение 4.3.4), существует сеть 2i^iU (t?) в Со (U (G)), такая что J^ikfU (tf) -*Е0 сильно, где Е0 — ортогональный проектор на подпространство ^-инвариантных вакторов. Но это обусловливает сходимость функций 1>¦
* 2 А? (ф, U (t) U (ti) г|)) к (ф, ii’o't). равномерную по t. Таким образом, инвариантность М. влечет
(Ф, Ety) = М ((ф, Uty) = М (Е^“(ф> UU (^)'Ф) = (ф, •Е'о'Ф)-
Итак, Е оказывается ортогональным проектором на подпространство в ф, порожденное ^/-инвариантными векторами. В результате получается другой вариант эргодической теоремы ДЛЯ представле-
4.3. Инвариантные состояния
423
ния U: для каждого инвариантного среднего М (U) — Е. С помощью этого утверждения можно переформулировать определение G-абелевости. А именно, пара (91, со) является G-абелевой тогда и только тогда, когда
УИ (о/ ([т (Л), В ])) = О
для всех А, В ? 91 и всех G-инвариантных векторных состояний со' в представлении яа. Аналогичную переформулировку определения Gr-абелевости содержит
Предложение 4.3.30. Следующие условия эквивалентны:
(1) пара (91, со) является G-г-абелевой',
(2) М ((фь ([у'Ч (Л), В ])ф2) = 0 при всех А, В ? 91, у ?
? G и фь ф2 G для некоторого инвариантного среднего М;
(3) \P,Jia (91)" Ра\.— абелево семейство;
(4) Р» tVi 1 АРа [УУЛ ВРа [-уа ] =Ра [ViJ ВР<* [УгУ'1 J АРа [у2 ]
при всех А, В ? (91)" и всех у, ylt у2 (j G.
Доказательство. Начнем с доказательства эквивалентности (1)фф-(4), а затем установим, что (3) (4) и (2) фф- (4).
(1) фф. (4). Областью значений Рш [у] является подпространство в фа, инвариантное относительна унитарного представления yUa группы G. Поэтому при фиксированных е > 0 и векторе г|зх из конечного подмножества Ж CZ можно найти такую выпуклую комбинацию операторов из
Si (YTi^oo) = t MYVi. *i)U»Vt),
i=1
для которой
II (Si (VVit/ffl) - pCO [YYi]) % 11 < e/2.
Это опять следует из предложения 4.3.4. Аналогично если г|з2 ? Ж, то, вторично применив это предложение к унитарному представлению YYi^co ® Y У^У а в © ©w> убеждаемся, что выбор можно подчинить условию
