Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
inf | со (А [В', С]) | = 0
В' ? Со Xq (В)
при всех А, В, С ? 91, то из равномерности сходимости, утверждаемой в условии (3) теоремы 4.3.22, следует, что двухэлементное кластерное свойство
inf | со (АВ') - со (А) со (В) | = 0, А, В ? %,
В' ? Со Xq (В)
эквивалентно трехэлементному кластерному свойству Inf | со (АВ'С) - со (АС) со {В) | = 0.
В' ? Со тq (В)
Предыдущие результаты описывают общие связи между кластерными свойствами, эргодичностью и спектральными свойствами, т. е. единственностью Qa. Без дальнейших предположений о структуре группы G или о непрерывности ее действия трудно развить теорию дальше, и получаемые результаты фрагментарны. Поэтому в следующем пункте мы обратимся к важному случаю локально-компактных абелевых групп с непрерывным действием, но сперва завершим общее рассмотрение несколькими замечаниями о направлениях, в которых происходило развитие теории, а также тремя примерами.
Сначала заметим, что при надлежащих алгебраических предположениях G-эргодичность со эквивалентна существованию сети {Ва} ^ Со т0 (В), такой что
lim | со (АВа) — со (А) со (В) | = 0
а
при всех А, В ? Такое выражение кластерностн в терминах выпуклых комбинаций можно интерпретировать как абстрактный способ сказать, что функции g ? G >—э- со (Ах& (В)) ? С имеют среднее значение со (А) со (В). Существуют разные способы придать смысл этому понятию среднего значения. Для произвольной группы G можно рассмотреть множество ограниченных функций на G, таких что замкнутые по норме выпуклые оболочки их левых и правых сдвигов содержат константы; речь идет о множестве почти-периодических функций (см. пункт 4.3.4). Для каждой из таких функций набор соответствующих констант сводится к одной-един-
4.3. Инвариантные состояния
407
ственной, которую, очевидно, можно интерпретировать как среднее значение. Эргодическая теорема утверждает, что матричные элементы всякого унитарного представления U (G) обладают средним значением в этом смысле. Иначе, можно определить инвариантное среднее как состояние С*-алгебры Cb(G) ограниченных непрерывных функций на G, которое инвариантно при левых (или правых) сдвигах. Даже если такого рода среднее существует, оно не обязано быть единственным, но оно совпадает с предыдущим средним для почти-периодических функций. Полностью игнорируя этимологию, группы с инвариантными средними в указанном смысле называют аменабельными Х). Не всякая группа такова, но для аменабельных групп средние значения можно строить явно с помощью различных методов, и кластерные свойства допускают различные переформулировки в соответствии с такими методами. Например, если G = Rv и Urjl (Rv) непрерывно, то рассмотренная выше форма кластерности эквивалентна свойству
где множества Аа удовлетворяют условиям, описанным в примере 4.3.5; эта эквивалентность вытекает из того же примера. В следующем пункте мы применим усреднение на локально-компактных абелевых группах.
Заметим еще, что имеются другие, более сильные кластерные свойства, которыми можно пользоваться для классификации более сильных эргодических свойств. Например, можно изучать такие со, для которых в выпуклой оболочке функций с кластерным свойством содержится нуль, т. е. такие со, что
при всех А, В ? 91. Подчеркнем, что это было бы невозможно при наличии у ?/и (G) неинвариантного собственного вектора, так что такое кластерное условие на со влечет более сильные утверждения
о спектральных свойствах Ua. Можно, далее, ввести некоторую частичную иерархию в множестве G-эргодических состояний при помощи спектральных свойств (см. примеры 4.3.28 и 4.3.34). Интересна также задача изучения состояний, для которых найдется сеть ga ? G, такая что
при всех А, В ? 91. Такого типа кластерное свойство встречается в классической эргодической теории, а следующий пример
Калька с английского amenable (послушный, сговорчивый, поддающийся). — Прим. р?д.
0 6 Со { | со (Axg(B)) - со (Л) со (В) |; g ? С|
lim | со (Лт^га (В)) — со (Л) со (В) | = 0
а
408
4. Теория разложения
показывает, что оно может возникать и в общей некоммутативной теории по причинам довольно неожиданным.
Пример 4.3.24. (сильное перемешивание). Пусть группа G действует *-авто-морфизмами х на С*-алгебре 8Г. Предположим, что существует такая сеть ga ? ? G, что при всех А, В ? Ж выполняется условие асимптотической абелевости
Нт||[Л, Tga(B))|| = °.
Если состояние со на St факторное, т. е. ям (ЭХ)" — фактор, то кластерное свойство
Пш | со (A%ga (В)) — со (А) со (то« (В)) | = 0
удовлетворяется при всех А, В ? 91. Для проверки этого сначала заметим, что, поскольку яю (8С)' — фактор, С*-алгебра S в фм, порожденная яю (Й) (J U ящ (81)', неприводима. Затем учтем, что вектор т]д = ящ (А) Йи — со (А) Йи ортогонален Йю. Поэтому существует такой эрмитов оператор Т ? 3? (§ю), что
