Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 4.3.10. Примем обозначения и предположения теоремы 4.3.9. Следующие условия эквивалентны.
(1) пара (21, со) является G-абелевой',
(2) для любого А ? 21 существует в выпуклой оболочке множества {rg (Л); g ? G| такая сеть Аа, что
lim со' ([тй(Л„), В]) -= О
а
при всех со' ? N и и всех В ? 21 равномерно по g ? G.
Доказательство. Ясно, что (2) => (1), но и (1) => (2), в силу оценки, использованной при доказательстве импликации (2) => (1) в предложении 4.3.7. А именно, если
П
sx (т(Л)) = ? (Л)
1
и со' (Л) = (tj), лш (Л) -ф), то
№. "ю (т (^)), В]) 4') К II ВЦ || (% (UJ - Еа) (Л) Щ +
-HI ЯII II (Ъ. (иш) — ?<о)Ям (Л*) т|з ||.
Следствие 4.3.11. Примем обозначения и предположения теоремы 4.3.9. Следующие условия эквивалентны:
(1) пара (21, со) является G-абелевой при всех со ? Е
(2) Е% является симплексом;
(3) алгебра (21) U Ua (G)}' абелева при всех со ? Е^\
(4) (?или (21) Еа} абелево при всех со ? Е
Это следствие является «глобальным» вариантом предложения 4.3.7, которое относится к случаю одного со ? Еи теоремы 4.3.9, которая касается случая множества яй-нормальных G-инва-риантных состояний N^. Этот глобальный вариант немедленно следует из локального (из теоремы 4.3.9), однако любопытно, что эквивалентности (1) (2) (4) можно простыми рассуждениями
392
4. Теория разложения
установить и непосредственно. В частности, импликация (1) =>- (2) довольно часто играет роль в приложениях, потому что условие (1) легко проверяемо, а свойство симплексности в сочетании с некоторым свойством сепарабельности гарантирует наличие единственного эргодического разложения у каждого ш ?
Прямое доказательство импликации (2) =>- (4) получается просто по аналогии с доказательством импликации (1) =>- (2) в примере 4.2.6, а именно, предположив, что (91) не абелево,
можно построить две разные максимальные меры в Ма (Е^).
Доказательство импликации (4) => (1) содержится в доказательстве предложения 4.3.7. Оно сводится к элементарной выкладке.
Наконец, импликацию (1) => (2) можно получить с помощью эргодической теоремы и следствия 4.1.17. Идея доказательства такова. Сначала устанавливается, что для каждого ш ? и любых А1у Аъ ..., Ап ? 91 (Qffl, яю (А,) Еыпа (А2) Еа . . . Еапы (Ап) QJ =
= lim<B(Sla(T(i4i))Sie(T(i42)) . . . \«(т (Л„))),
где Sxa (т (Л)) обозначает подходящую сеть выпуклых комбинаций элементов из т0 (А)-.
па
5яа(т(Л)) = 'Kfx а (А). t=1
Это легко устроить, выбрав сеть так, чтобы соответствующие комбинации Sxa (Ua) элементов Ua (G):
па
V (Ua) =¦ 2 ^ (g?)’
i= I
сильно сходились к Em на Затем на С (Ещ) задается линейный функционал jj.m формулой
МЛ • • ¦ Ап) = (Йш, (At) ?>ш (Л2) Еы . . . Еаям (Лп) QJ.
В силу предположенной G-абелевости, \Ешпш (91) Еа\ абелево, поэтому из теоремы Стоуна—Вейерштрасса и из спектрального анализа, проведенного в доказательстве теоремы 4.1.25, следует, что |лш определяет на Е% вероятностную меру с барицентром ох Далее, для тех со' ? Едля которых при некотором К > 0 выполняется неравенство а' < X со, мы имеем со'(Л) = (СЙа, яш(Л)Йш),
4.3. Инвариантные состояния
393
где С ? яш (51)' П (G)', как показывает теорема 2.3.19 в сочетании с простыми соображениями инвариантности. Поэтому
яи (А^) Еаяа (Л2) Еа . . . Еаяш (Ап) ?2Я) =
= 1 im со' (SKa (т (Л^) . . . (т (Л„))) =
а
~ яш> (Л[) Еа'Я(ij' (A<i) Е«, . . . Еа'яИ' (Ап) йш') =
= Мм' (^1^2 . . . Ап).
Тем самым отображение со ? Ещ н-> |1И ? Л4я(?щ) аффинно и
— симплекс, согласно следствию 4.1.17. В следующем пункте мы покажем, что эти симплексы Е^, образованные инвариантными
состояниями, часто обладают необычным геометрическим свойством: их крайние точки слабо* плотны (см. пример 4.3.26).
После такого рассмотрения следствий G-абелевости обратимся к более сильному свойству G-центральности. Начнем с двух характеризаций этого свойства.
Предложение 4.3.12. Пусть на С*-алгебре 91 задано представление группы G *-автоморфизмами, g ? G н-? Aut (1), и на Я имеется G-инвариантное состояние со. Следующие условия эквивалентны:
(1) пара (91, со) является G-центральной;
(2) (91)" П U(G)'} Fa> = {За' П Ua’ (G)'} при всех со' ? NGa,zdeFa’= [яШ' (91)' Em< ], Еа> обозначает проектор на подпространство U,о' (G)-инвариантных векторов в §Ш', а Зш' — центр алгебры ям< (91)".
Доказательство. Для всякого А ? Щ будем через Ма, (Л) обозначать среднее значение оператора/7С0,яС0,(Л) Fa,, как оно определено в предложении 4.3.8. Мы покажем, что каждое из условий (1), (2) эквивалентно условию
