Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Вторично переходя к сопряженным объектам, можно ввести действие G на алгебре С (Ещ) непрерывных функций на ЕЕсли бэровская мера ц на Е% инвариантна относительно такого действия, то можно его распространить и на L°° (ц). Для простоты обозначений за результирующим действием сохраним обозначение т. Таким образом,
(xg/) (со) = / (т*-.со) для / ? L°° (ц) и со ? Еж-
Предложение 4.3.1. Пусть g ? Gi—? Aut (91) — представление группы G *-автоморфизмами С*-алгебры 91, и пусть на 91 имеется G-инвариантное состояние со. Тогда существует взаимнооднозначное соответствие между следующими тремя множествами:
(1) множество всех ортогональных мер |i на Е% с барицентром со, которые удовлетворяют условию инвариантности
I1 (та (/i) /г) = Д (/1/2) при всех /ь /2 ? ?°° М « g € G;
(2) множество всех абелевых подалгебр фон Неймана 93 коммутанта
1"» (Я) и иш (G)}';
(3) множество всех ортогональных проекторов Р в таких что
Ua(g)P = P, .Рпа(Ъ)Р<={Рпш(Ъ)Р\'.
Доказательство. Теоремой 4.1.25 уже установлено взаимно-однозначное соответствие между ортогональными мерами |i, абелевыми алгебрами фон Неймана 9?л„ (31)' и такими проекторами Р, что Р?2Ш = Йш, Ряш (St) Р ?
4.3. Инвариантные состояния
381
? {Рят (Щ) Р}'. Остается соединить этот результат со свойствами инвариантности, а это легко сделать с помощью явных выражений для соответствий между элементами ©t Р> найденных в теореме 4.1.25.
Сначала предположим, что ц удовлетворяет указанному условию инвариантности. Тогда
(Ош, ям (А) иш (g) ^ (/) Ua (g~ 1) ям (В) GJ =
= (°со’ я(0 (V1 (Л)) W Ясо (V (S)) Qco) = Р (/Tg-> (^)) =
= \i(fAB) — ят (А) Ху (/) Ящ (В) Qm)
при всех А, В ?-21, g ? G и / ? L°° (ц). Поэтому свойство цикличности дает нам
Va(8) М/) ии> (8)* = *и (/)•
Но S3 = jИц (/); f ? L°° (и)}, следовательно, S3 ? {яш (Щ) (J Ua (G)}'.
Затем предположим, что S3 ? {яга (Щ) (J t/m (G)}', и заметим, что Р = = [58Qm], Отсюда сразу же получаем Um (g) Р = P.
Наконец, если Р входит в множество (3), описанное в предложении, то верны равенства
• • ¦ 4^3) =
= (°«>- "оо (Тй1 ИО) Pltoo (**, (^2)) Р ¦ • • Рп* „ (^)) Йсо) =
= (йш. (Л) (Л2) р ¦ ¦ ¦ Рла (Ап) QJ = н (ЛИ2 . . . Ап)
при всех Av Аг, ..., Ап ? Щ и glt g2.gn ? G. Но каждую функцию / € С
по теореме Стоуна — Вейерштрасса можно равномерно аппроксимировать полиномами & от Лг, а так как т изометрично, TOTg^5 равномерно по g ? G аппроксимируют %gf. С помощью этих двух аппроксимаций мы заключаем, что Р ((Tg/i) /а) = Ц (/i/a) ПРИ всех /ь /2 С С.
На описанные в предложении 4.3.1 инвариантные ортогональные меры естественным образом переносятся все свойства упорядочения ортогональных мер, описанные в теореме 4.1.28. Так если 39ь 332 — Две абелевы подалгебры фон Неймана в {яи (21) U U Ua (G)\', a [Xsgi, — соответствующие меры, то 33x ? 332 -фф-
^S3X < И'ЗЗг и т- д-
Приводимый ниже результат касается свойств носителей таких ортогональных мер.
Предложение 4.3.2. Пусть выполнены предположения предложения 4.3.1. Если ортогональная мера ц имеет барицентром а, то следующие условия эквивалентны:
(1) И (т* (Л) h) = И (Ш при всех U, h ? С (%) и g d G;
(2) носитель |л содержится в слабо* замкнутом множестве образованном G-инвариантными состояниями.
Далее, если |i удовлетворяет этим условиям и максимальна, то она псевдососредоточена на множестве эргодических состояний
382
4. Теория разложения
& (В%), а если, кроме того, со содержится в некоторой грани F для Е^, удовлетворяющей условию сепарабельности S, то сосредото-
чена на
Доказательство. Очевидно, (2) =>• (1).
(1) =>• (2). Пусть 33 {ям (St) [J Uю (G)}' — абелева алгебра фон Неймана, отвечающая ц при соответствии, описанном в предложении 4.3.1, и пусть
— конечномерная абелева подалгебра фон Неймана в 58. Ортогональная мера Hgj, соответствующая Ш, обладает свойством инвариантности и имеет конечный носитель {%, со2, ..., со„}. Но каждое со; ? Eft, потому что
щ-М) — (Pi®(А) ^ю) , _
где Pi — некоторый проектор из 9J. По лемме 4.1.26 семейство мер сходится в слабой* топологии к |х, поэтому также сходится в слабой* топологии на
С(Е°ЖУ к мере v ? M^iEft), которая получается сужением ц на Eft. Таким
образом, (1 (fgj) = v (fgj) = 1, т. е. носитель ц содержится в Eft.
Если две ортогональные меры vb v2 ? О м удовлетворяют условию
г
инвариантности, то их можно рассматривать как меры на Eft, т. е. Vj, v2 t ? Ма (?щ). Мы сперва установим, что соотношение >- v2 в Ма влечет
vj^v2 в M^^Eft). Для этого достаточно заметить, что всякая функция / ? €5(4) обладает выпуклым и полунепрерывным снизу продолжением / на Eft, которое получается, если задать f (со) = +оо при со ? Тем самым,
