Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(®v).+ = К(/); / € 4°+ (V)} = К (г); 8 е ^Г+ а*)};
равенство было обосновано при доказательстве импликации (2) =>• (1), а включение следует из предложения 4.2.2, так как v -< (х. Поскольку это включение справедливо для всех v ? (7W ^Е^), мы делаем вывод, что
(л<о №')l+ = U (®v),+ s= (Х^ (g); g е L~+ (ц)} <= (яш (31)')1 + ,
v€<7to
а потому и (яш (91)')1+ = (хд (g); g ? L™+ (|x)j. Тем самым положительное точное отображение х^ оказывается порядковым изоморфизмом L°° (ц) на яш (St)'. По теореме 3.2.3, х^ должно быть йордановым изоморфизмом. Но это приводит к соотношению
xv (fS + gi) _ (/) Хц, (g) + Хц (g) хц, (/)
Хц (/g) —------2----------------------2------------- ’
370
4. Теория разложения
а приняв во внимание наблюдение (3), сформулированное в ходе доказательства предложения 3.2.2, получаем
(Иц (/) *ц (8) — (В) Хц (/))2 = °-
Таким образом, алгебра (31)' абелева.
Если условия теоремы 4.2.4 выполнены, т. е. ям (91)' абелева, то соответствующая максимальная мера (х будет псевдососредото-чена на множестве чистых состояний <$ (-Ещ;). Если 91 сепарабельна или если со принадлежит грани, удовлетворяющей условию сепарабельности S (см. определение 4.1.32), то можно вывести, что |х сосредоточена на 8 (?щ). Следующий результат является прямым обобщением такого вывода.
Теорема 4.2.5. Пусть со—состояние С*-алгебры^ с единицей. Пусть 58 — максимальная абелева подалгебра в яа (91)' и (х — соответствующая ей мера на пространстве состояний Е^. Тогда |х псевдососредоточена на множестве чистых состояний 8 (^Sl) алгебры 91.
Кроме того, если со содержится в грани F, удовлетворяющей условию сепарабельности S, то множество крайних точек 8 (F) этой грани есть бэровское подмножество в 8 (?д() и
И* (П) = 1-
В частности, при этом добавочном исловии и. максимальна в
ЛЧ%)-
Доказательство. Мы можем, не ограничивая общности, считать точным представлением. Ведь если § = ker пш и р: 91 —>-91/'Э, то ср будет чистым состоянием на Я/Этогда и только тогда, когда ф°р будет чистым состоянием на 31, но состояния указанного вида образуют в Е^ слабо* замкнутое подмножество.
Пусть С*-алгебра К в §м порождается (31) (J 93. Мы можем рассматривать 31 (= яш (31)) как подалгебру в U, а так как 93 — максимальная абелева подалгебра в Яд, (31)', то 93 = (?'. Далее, продолжим со до состояния со на Е, полагая со (С) = (?2Ш, СРШ) при всех С ? Е, и пусть jx ? Оffi —
та ортогональная мера, которая соответствует 93. По теореме 4.2.4 мера Д максимальна в и потому псевдососредоточена на 8 (теорема 4.1.Г1).
Затем мы можем записать со = по, где г — отображение сужения Е^—*~
—»- Е^, введенное в лемме 4.1.36. Но
[х (CjCa . . . Сп) — (Q(o» СХРС2Р . . . PCnQa)
при Clt Cj....C„ ? G и Р = [93?2Ш]. Поэтому = [х, где г* — сопряженное
к г отображение, а ортогональная мера |х ? (7Ш соответствует S3. Теперь,
если В — бэровское подмножество в Есодержащее & то г будет
бэровским подмножеством в Есодержащим & (^(5;)’ согласно предложению
4.1.37. Следовательно, |х (В) — р. (г^В) =1.
4.2. Экстремальные, центральные и субцентральные разложения 371
Предположим теперь, что ЗС содержит такую последовательность (^-подалгебр {SlfJnj.p что 31= Ц гЖп и каждая Жп содержит сепарабельный идеал и пусть
ш € F = { Ф; ф ? Е%, ||<pJ@J| = 1, п= 1, 2, ... }.
Тогда, согласно предложению 4.1.34, пространство сепарабельно. Следовательно, 3? (ф(0) сепарабельна в слабой операторной топологии. Поэтому S3 содержит сепарабельную С*-подалгебру SB0, такую что 9}0 слабо плотна в 95. Пусть G обозначает С*-алгебру, порожденную яш (31) (=91) и S30, a обозначает С*-алгебру, порожденную S30 и 91„; пусть, наконец, С*-алгебра порождается S0 и ©,г. Так как Ж0 ?= ЗТ', то — сепарабельный идеал в и U „(?„ плотно в К. Введем
{V ||^|3п|
= 1, п = 1, 2,
Тогда ш ? F. Поскольку Е' = 33 абелева, из предложения 4.1.34 и теоремы 4.2.4 следует, что 8 (F) является бэровским множеством вида df П F ПРИ
некоторой функции / ? S (?g), причем ji (df (?g)) = '. И (F) = 1; поэтому
И (8 (F)) = 1. Далее, г (8 (F)) 8 (Е^, в силу предложения 4.1.37, и г (8 (F))
содержит некоторое ^-множество (/ с ц (U) = 1, по лемме 4.1.36. Применение предложения 4.1.34 показывает тогда, что f.i (U f) f) = 1- Но поскольку U Г) П F ?= 8 (F), а множество 8 (F) бэровское, то ji (8 (F)) = 1. Так как 8 (F) ^
— df (?щ) при всех / ? S то jx максимальна в А4Ш
по теореме 4.1.7.
Обсуждение экстремальных разложений мы завершим двумя примерами, иллюстрирующими некоторые структуры, возникающие в пространстве состояний. Хотя теорема 4.2.4 и дает критерий того, когда данное состояние со ? Е% является барицентром единственной максимальной меры, мы не рассматривали условий, гарантирующих, что каждое со ? Е% обладает таким свойством. Общая теория барицентрических разложений (теорема 4.1.15) говорит нам, что это эквивалентно тому, что — симплекс, и первый из примеров показывает, что это имеет место тогда и только тогда, когда 91 абелева.
