Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4.2.6. Для С*-алгебры 31 эквивалентны следующие условия:
(1) пространство состояний Е^ — симплекс,
(2) 31 абелева;
(3) положительные элементы 31+ алгебры 31 образуют решетку.
Указанная эквивалентность не зависит от наличия единицы у алгебры ЗТ. Доказательство для общего случая сводится к частному присоединением единицы. Отметим еще, что абелеву Я можно отождествить с С (X), где X — пространство характеров на 91, как показано в теореме 2.1.11, (А) пункта 2.3.5, а соответствует множеству вероятностных мер на С (X). Тем самым (2) =*- (1) и (2) =*- (3). Установим теперь импликацию, обратную к первой из этих импликаций.
372
4. Теория разложения
(1) =*- (2). Предположив, что (2) не выполнено, мы допускаем наличие двух таких А, В ? Ш, для которых АВ — ВА = С =f= 0. Кроме того, лемма 2.3.23 гарантирует существование такого чистого состояния со на Щ, что со (С*С) = = || С ||2. Гильбертово пространство ассоциированного с со неприводимого
представления (|)ю, яю) не может быть одномерным, иначе мы имели бы ла (С) = = 0. Пусть "ti и "Фг — любые два ортогональных единичных вектора в и со; (А) = (-фг, яш (А) -фг) при А ? Щ, i = 1,2. Введем также состояния со_|_:
ш± (А) = ((г))! ± г|з2), яш (А) ± г|з2))/2, А ? $С.
Для таких состояний сох (А) -|- со2 (А) ~ ш+С^) + И). Следовательно, две
несовпадающие максимальные меры -f- б(0г)/2 и (6М -f- )/2 имеют один
и тот же барицентр, т. е. Ящ — не симплекс.
Для завершения доказательства покажем, что (3) влечет (1).
(3) =s- (1). Пусть ф — произвольный эрмитов функционал на Ш. и ф( + > определяется по формуле
ф<+ 1 (А) = sup {ф (В); 0 < В < А].
Функционал ф<+), очевидно, ограничен; докажем его линейность. Для этого возьмем 0 ^ В ^ Ах + As, где Л; > 0; из свойств решетки следует существование таких Въ В2, что В = Вг + В2 и 0 ^ В± Alt 0 ^ В2 ^ А2. Действительно, можно задать Вг — Аг Д В, В2 = В — Вг. Очевидно, 0 ^ Вг ^ Аг и 0 < В2, но В — А2 ^ В и В — А2 ^ Ах. Поэтому В — А2 ^ Ах Д В, что равносильно В2 ^ А2. С помощью установленного разложения получаем
Ф(+ > {Аг + А2) = sup {ф (Вг + В2)\ 0 sg Вг < Alt 0 < В2 < А2}
= ф(+) (А) + ф(+) (А2).
Пусть теперь (О! и со2 — положительные линейные функционалы на Щ. Положим
COi V “г = («Oi — со2)<+ > + co2.
При Л > 0 и s > 0 найдется такой элемент В, что 0 В ^ А и (coj — со2)(+ > (А) < сох (В) — со2 (В) + е.
Поэтому если со > сох и со >> со2, то
(coj \/ со2)(Д) сох (В) -f- со2 (А — В) + в ^ со (A) -f- е,
т. е. со! V со2 является точной верхней гранью и со2. Аналогичными рассу-
ждениями устанавливается существование точной нижней грани coj, со2 и явное выражение для нее
Ш1 А И2 = ®1 - (<*>! — С02)<+>.
Следовательно, положительные функционалы на Я образуют решетку и Е^ — симплекс.
Отметим, что введенный в доказательстве функционал ф(+> — это в точности положительная часть ф+ функционала ф в йордано-вом разложении. Отрицательную часть ф_ можно вычислять по аналогичной формуле, и очевидно соотношение ф_ = — (ф)+.
Пример 4.2.7. Рассмотрим С*-алгебру Щ = М2, состоящую из всех 2 X X 2-матриц с комплексными элементами. Пример 4.2.6 показывает, что —
не симплекс, а сейчас мы установим, что Е^ аффинно изоморфно единичному
шару в R3.
4.2. Экстремальные, центральные и субцентральные разложения 373
Введем матрицы Паули сг0, сгх, сг2, сг3 в Щ5а:
ffo = (oi)- ai=(lo)’ <т»=(?~о)'
Вещественная линейная оболочка набора {а;} совпадает с 9tSa- Если 2ji^i^i € ? 9lsa, то, как легко видеть,
Тг ^ ? а,-ст^ = 2а„, det ^ ? ос.-ст,^ = с% _ а2 - ос^ _ а|.
Значит, 2iai<Ti 6 9Т+ тогда и только тогда, когда аи > О и > af -f a| -f ag, т. e. 91+ можно отождествить с положительным световым конусом пространства Минковского.
Всякое состояние со ? Е^ задается единственной положительной матрицей р ? 9С+ с Тг (р) = 1 по формуле со (Л) = Тг (рЛ). Отображение со,—=»р аффинно. Таким образом, аффинно изоморфно множеству
| (a,) € R4; а0 = 4" > а1 + а2+
т. е. j- аффинно изоморфно единичному шару в R3.
Легко также построить естественный положительный конус ^т, ассоцииро-
1
ванный с М2 в представлении, определенном по т = -^-Тг. В самом деле,
{2 1/2зтт (ст;) йх(0<(<.д образует ортонормированный базис для ?>т, а так как х — след, то &% = ят(91+) QT. Тем самым §х можно отождествить с гильбертовым пространством С4 так, что при этом
55т= (Ю € R4; a0>0, a2l + a22+ a^ag},
т. е. i?T просто оказывается положительным световым конусом в пространстве Минковского.
В общем случае нетрудно показать, что для чистых состояний со1( ш2 произвольной С*-алгебры 81 с единицей грань, порожденная {Юх, со2} в либо
совпадает с отрезком, соединяющим Шх и со2 (если па и яи неэквивалентны), либо аффинно изоморфна единичной сфере в R3 (если cox Ф ю2 и эквивалентно я^ ). Таково важное абстрактное свойство выпуклого компактного множества Е^.
