Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
со; со ^ Eg, со (Л„, р) > 1----
Ясно, что Vn, m р замкнуто, и, значит, будучи счетным пересечением открытых множеств, оно является компактным множеством типа G§. Следовательно, F — бэровское множество.
Затем докажем свойство (1). (Понятие устойчивой грани было введено в замечании после доказательства теоремы 4.1.11.) Множество F обладает этим свойством тогда и только тогда, когда из условий со ? F и (iV- б,0 следует, что мера и сосредоточена на множестве F. Но если И = Hi + На> ГДе Hi сос“ редоточена на V„ т, а Нг — на его Дополнении, то
w (An, к) — Hi (Ап, к) + Нг (Ап, к) (1 — || Нг ||) + || Нг || О — Чт) ~ ' — |] Нг \\/т-
Поскольку sup* со (Л л k) = 1, то с необходимостью || н> || = 0, так что н (F) = 1.
Обратимся теперь к доказательству свойства (3). Пусть обозначает
линейное пространство вещественных двойных последовательностей, снабженное топологией поточечной сходимости. Зададим отображение t : фор-
мулой
t (to) = {Л„, р, (w)}A!^
Отображение t аффинно и непрерывно, поэтому образом Еg будет компактное
выпуклое подмножество пространства [—1, 1]^'. Последнее пространство ме-тризуемо и сепарабельно, поэтому теми же свойствами обладает и t Можно,
например, снабдить t метрикой
d (t (щ), t (а,)) = ^ 2-“*-" | Ап, (©i - o>2) |.
n, k> 1
В соответствии с теоремой 4.1.11 и замечанием после ее доказательства, множество & борелевское. Но метризуемость и компактность t (Е^ гаранта-
360
4. Теория разложения
руют, что борелевские и бэровские множества совпадают. Итак, 8 (t [Е^у^ — бэровское множество. Поскольку t непрерывно, а Е^ компактно, можно утверждать, что множество Г1 (8 (t бэровское. Покажем, что
r4ar('(?«)))nf = *(?s)nf>
откуда будет следовать, что множество 8 (F) = 8 {Е^ Г) F бэровское. Для
доказательства выписанного равенства прежде всего заметим, что t (F) — грань для t (Е^у Действительно, t (F) состоит из двойных последовательностей,
которые при каждом п принимают значения, сколь угодно близкие к 1, при возрастании k, так что свойство грани выполнено. Важно также заметить, что сужение t на F точно. В самом деле, семейство {Ап> jc}n k>x отделяет сужения
на U rQn состояний со ? ЕНо каждое со ? F единственным образом определяется своим сужением на U в силу леммы 4.1.33 и предположений, сделанных в определении 4.1.32. Значит, отображение точно.
Далее, всякое а ? & ^ Е будет крайней точкой в F, a t (со) — край-
ней точкой в t (F), так как t, суженное на F, точно. Но t (F) — грань для t (Е^у следовательно,^(со) ? & (t т. е. 8 (?g) П Fc^t'1 (8 {t П F. В|об-
ратную сторону, если со ? Г1 (8 (t П то ^ (со) ? 8 {t{E^y^ f|f(f) =
= 8 (t (F)), так как t (F) — грань. Но поскольку сужение t на F точно, то t(8 (F)) = 8 (t (F)) и поэтому Г1 (8^ (?g))) П F S 8 (Е^ П F.
Наконец, вследствие метризуемости и сепарабельности t (Е^у на t
существует строго выпуклая непрерывная функция g. Процедура построения такой g описана в доказательстве теоремы 4.1.1. Определим на Еg функцию f
соотношением
f (®) = g(t (со)), а ? Е^.
Ясно, что f выпукла, непрерывна и, более того, строго выпукла на F, ибо t[p — аффинный изоморфизм F. Отсюда вытекает, что если со ? F, но со ф 8 (F), то со ф д; (Е^у т. е.
¦Ш (F) э df П F.
Совпадение этих множеств следует теперь из предложения 4.1.10 и соотношения 8 (F) = 8 (E^j П F.
Остается доказать свойство (4). Если со ? F, то (Q„) Qw плотно в яа> (Sn) йи, согласно последнему утверждению леммы 4.1.33. Поскольку U п&п плотно в &, то ( U Ппа (^„)) ?3И плотно в фи, следовательно, сепарабельно.
Простейший случай, когда применимо предложение 4.1.34,
— это случай, когда 6 сепарабельна и F = ?'g. Предыдущий результат тогда содержится в теореме 4.1.11 и ее доказательстве. Менее тривиальный случай описан в следующем примере.
Пример 4.1.35. Пусть 9К — алгебра фон Неймана и f) 9Й* —
множество ее нормальных состояний.
(1) Nm —грань в
4.1. Общая теория
361
Мы должны показать, что если q> ? Е^ и q> < Ясо, где (о ? то ф ? N^ _
Но по теореме 2.3.19 существует такой оператор Т ? яш (ЭЛ)+, что ф (Л) = = (TQa, я,0 (Л) TQm). Остается воспользоваться нормальностью представления яи.
(2) плотно в Е<^.
Это следует из предложения 3.2.10.
(3) N<yji замкнуто в топологии нормы, и N^ секвенциально полно в слабой* топологии.
Поскольку ЭЛ*—банахово пространство, первое утверждение очевидно' Второе мы не станем доказывать (см. замечания и комментарии).
(4) Если ЭЛ —¦ фактор в сепарабельном гильбертовом пространстве, то эквивалентны следующие условия:
(I) N<^ —устойчивая грань в Е^;
