Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Полагая Я. = (Qffl> P(Qa) и Ц = (?3М, Q/Q(0), имеем
mi
h = S Ц.
/=m!_l+1
Обсуждение свойств мер предшествующее лемме, указывает на наличие
представлений
п т
= ? ^ s«j’ =; ?
где состояния (о, и со', связаны соотношением
1 ]
Щ
= ? ь>;-.
/=mi_i+i
Теперь простыми выкладками с использованием выпуклости и определения, отношения порядка -< устанавливается, что -< |i^.
Далее, заметим, что
Mgj (ЛИг . . . = (Qw, (i4j) Р^лш (Л2) . . . Рэд^ш [An) Q(o).
где P^ = [9Й2Ш]. Сеть P^ сходится слабо, а потому и сильно к P$g = [2ШМ]. Поэтому
lini fi^.(j4ij4a> . . ., Ап) = jcw (Ai) Pjg^M (-^a) ^sg • • • (-^n)
*<Ч «-Ч
Ho Ai разделяют точки ?щ, следовательно, полиномы от Л; плотны в С по норме, в силу теоремы Стоуна—Вейерштрасса. Тем самым сеть сходится в слабой* топологии, т. е. ст (С С (Ящ^-тоггологии, а слабая* компакт-
4.1. Общая теория
351
ность Мш гарантирует, что пределом окажется мера Hsg 6 Мы Удов-
летворяющая требуемому соотношению (*). Поскольку
Hsg (АгАяАзА^ = (АхА3АгА4),
мы можем заключить, что операторы (А) Р$g коммутируют на Psg§>m.
Отметим, что тем самым установлено соответствие между 93 — па (81)' и Проекторами P^g того типа, который указан при описании третьего из множеств,
фигурирующих в теореме 4.1.25. Теперь покажем, что если Р — произвольный проектор этого типа, то соотношениями
И (АгА2 . . . Ап) = (ймяю [Ai) Рла (А2) Р . . . Рпа (Ап) йм) ( * * )
определяется ортогональная мера. Этим будет получено соотношение (3) упомянутой теоремы, а также завершено доказательство леммы.
Для демонстрации того, что (* *) задает непрерывный положительной линейный функционал Ц на С рассмотрим гельфандовское представление
С (К) абелевой С*-алгебры, порожденной Рпш (Щ) Р. Если F (гъ г2, ..., гп) — полином, то
I (Ош, F (Рлш (Ах) Р......Ряю (Ап) Р) Ош) | <
<|| F(Pnet(A1)P, . . .,: Рпа (Ап) Р) ||
.= sup | F ((Рпш (Лх) Р) (Ф).....(Ря,а (А„) Р) (Ф)) | <
ф€ к
< sup )F (A± (ф).........An (ф)) |.
Последняя оценка верна, так как A i—> (Рят-(Л) Р) (ф) при каждом ф ? К является состоянием на Й. По теореме Стоуна—Вейерштрасса найдется такая линейная функция Ц на С что
Ял))=(йш, Р(Ркш(А1)Р, ¦ ¦ Pn„(A„)P)Qa)
для полиномов F. Поскольку Ц (1) = (Йю, РЙЮ) = 1 и ||ц|| 1 согласно по-
лученной выше оценке, Ц оказывается в силу предложения 2.3.11 положительной мерой Радона. Остается доказать ортогональность ji.
Для этого сначала заметим, что
ц (АхА%) = (Й(0, яи (Л1) Рпа (А2) Йю) = (йм, ям (Лх) (Л2) йа),
где — отображение, введенное в лемме 4.1.21. Используя цикличность, получаем
*ц (-4) Ош = Рпга (А) йм
при всех А ? Щ. Но в таком случае
(Йю, ям (Лх) (А2) Иц(Лз) fiQ) = (Й^, (А%) Ряы (Лх) Рла (А3) йт)
= и (AiA2A3) — (fioji яо) (^1) (А2А3) йю).
Следовательно, (Аг) (Л3) = (Л2Л3) и при всех А2, А3 ? 31
«м. (АгА3) йм = Рпа (Л2) Яям (А3) йш.
352
4. Теория разложения
Последовательно повторяя это рассуждение, придем к равенству
(AiAt ¦ ¦ ¦ Ап) = (Ai) Иц (А2) • ¦ • Иц (^n)J следовательно, для всякого полинома
к» (& (Аг. А 2, . . ., А п)) = ^ (Хр (Ai), у.^(А2), . ¦ ., у.^(Ап)).
Но I Иц (/)||| < I /при всех / ? L°° (ц), так что, вторично применив теорему Стоуна—Вейерштрасса, а затем теорему Капланского о плотности, получим
(fg) = (/) (g)
при всех /, g ? L°° (ft). Таким образом, ft ортогональна, согласно предложению 4.1.22.
Конец доказательства теоремы 4.1.25. Для элементов (х, S3, Р трех множеств, указанных в теореме, мы уже определили, как задаются соответствия fii—93i—>Pfg и РI—Остается показать, что эти отображения согласованы, т. е. что, пройдя по такой цепочке, мы вернемся к исходной мере. Соображения, высказанные в начале доказательства, обосновывают равенство
ft (A^A2 . . . Ап) — (A-у) Рт (А2) Рт • ¦ • Рда (А2)
' ц ц ц '
а согласно лемме 4.1.26 ftp (AiA2 ¦ ¦ ¦ Ап) = (Qa, Яш(Л1)Рт Ли(Л2)^’да • • ¦ Рsn ^(^я)^).
V -Оц -Оц !
Заключительный шаг — применение теоремы Стоуна—’Вейерштрасса — дает нам требуемое совпадение мер и показывает, что три наши множества находятся во взаимно-однозначном соответствии.
