Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
4.1. Общая теория
355
ющая абелева алгебра фон Неймана 33 е я,0 (21)' будет максимальной абелевой подалгеброй. В этом случае (я будет также максимальна и в множестве Мш (?gj;) всех мер с барицентром со 1).
4.1.4. Борелевская структура пространства состояний
Проведенное в пункте 4.1.2 рассмотрение барицентрического разложения' точек выпуклого компактного множества К показало, что чрезвычайно важны свойства измеримости множества крайних точек В (К) по отношению к мерам на К. В этом пункте мы обсудим подобные свойства в случае, когда К есть Е%, пространство состояний С*-алгебры 21 с единицей. Оно образует выпуклое слабо* компактное подмножество сопряженного к 21 пространства 21*, а его крайние точки —точки & —
в точности совпадают с чистыми состояниями.
Сперва заметим, что если 21 сепарабельна, то Ещ метризуемо. В самом деле, с помощью последовательности \Ап\п>i, плотной в единичном шаре 91, можно ввести метрику d на
nsz 1
Так как множество Е% ограничено в 21*, то легко видеть, что слабая* топология на Е% совпадает с топологией, определяемой этой метрикой. В результате можно заключить (на основании теоремы 4.1.11), что множество чистых состояний & (Е%) является вб-подмножеством в Ещ.
Для произвольной С*-алгебры 21, как и в случае крайних точек произвольного выпуклого множества, множество чистых состояний может быть весьма патологическим. Сначала мы приведем ряд примеров. Первый из них демонстрирует ситуацию, в которой множество чистых состояний обладает полезным свойством замкнутости.
Пример 4.1.30. Пусть алгебра 91 абелева. Тогда 8 (^) будет множеством характеров на Щ, в силу предложения 2.3.27. СЛедовательно, 8 (^щ) замкнуто в Ещ^, и тем самым крайние точки заведомо образуют борелевское множество. Хотя 8 (?щ) не обязано быть бэровским множеством, применив теорему Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала к % = С (8 мы
См. Henrichs R. W. On decomposition theory for unitary representations of locally compact groups. J. Funct. Anal., 1979, 31, 101—114. — Прим. авторов к русскому изданию.
356
4. Теория разложения
получим единственное разложение всякого состояния в на Я по чистым состояниям:
со (А) = j ёц0 (со') А (со').
Так как множество <S борелевское, можно отождествить единственную ре-
гулярную максимальную меру Бореля ц ? Ма с мерой Рисса, положив |х (В) ?= |х0 (В П 8 (^щ)) для люб°го борелевского В —
Предыдущий пример можно обобщить. Назовем С*-алгебру п-мерно однородной, или однородной степени п, если все ее неприводимые представления n-мерны. Например, С*-алгебра абелева тогда и только тогда, когда она одномерно однородна. Всякая /г-мерно однородная С*-алгебра локально устроена как М„ ® (g) С (К) = С (МП, К), где К — компактное множество, а Мп — полная матричная алгебра n X n-матриц. Множество чистых состояний /г-мерно однородной С*-алгебры 31 замкнуто в и обратно, «почти верно», что из замкнутости & (^st) в ^St следует представимость ЭД в виде конечной прямой суммы /г-мерно однородных С*-алгебр. Оговорка «почти» необходима из-за примеров типа
« = {/; /е С(М2- [0, 1]), f(0)? c(q J)}.
Однако верно, что 21 является конечной прямой суммой однородных по размерности алгебр, если & компактно, а его подмножество, состоящее из характеров, открыто в S’(Е%у, см. замечания и комментарии в конце главы.
Следующий пример призван показать, что множество чистых состояний вовсе не обязательно замкнуто; фактически оно даже может быть плотным в пространстве всех состояний.
Пример 4.1.31. Пусть St — РГФ-алгебра (см. пример 2.6.12 и последующее примечание). Это значит, что St имеет вид
St = U St„,
лэ» 1
где {Stn}r!>1 — возрастающая .последовательность полных матричных алгебр, имеющих общую единицу. Мы утверждаем, что множество чистых состояний 8 (^щ)слабо* плотно в Для доказательства плотности достаточно показать,
что сужение произвольного состояния о на всякую подалгебру Strt обладает продолжением до чистого состояния на St.
Если Stn = M[rt] — алгебра [л] X [л]-матриц1), то по теореме 2.4.21 существует положительный оператор р ? -^[п] с Тг (р) = 1, такой что
о (Л) = Тг (рЛ), Л € М[Г!]-
11 Здесь nf IN |—>ln] ? M — возрастающая функция.—Прим. перев.
4.1. Общая теория
357
Выберем т> п столь большим, чтобы [т]> [я]2. Поскольку единица у Мт и Мп общая, число [т]/[я] должно быть целым и М^ ® ^[п].
Пусть ij, ..., образуют ортонормированный базис для /2 (1, [я]), причем р%i = а т]!. т1[т]/гп] образуют ортонормированный базис для
Z2 (I... [/эт ]/[«]). Тогда
1, . . ., [л])) ® S'(/¦(!, . . [m]/[n])).
Рассмотрим векторное состояние щ на определяемое вектором
[л]
