Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Следующий результат дает характеризацию отношения в общем контексте выпуклых компактных множеств. Он показывает, что две меры и v сравнимы тогда и только тогда, когда они сравнимы покомпонентно.
Предложение4.2.1 (теорема Картье—Фелла—Мейера). Пусть К — выпуклое компактное подмножество отделимого локальновыпуклого пространства, а ц, v ? Мя (К) — меры с барицентром со. Следующие условия эквивалентны;
(1) v < ц;
(2) для всякой выпуклой комбинации
П
v - Hi
1 = 1
с Vi ? Мшг (К) существует соответствующая выпуклая комбинация
п
^
с щ 6 Мш, (К);
(3) выполнено условие (2), и вдобавок все )> v*.
Доказательство. (3) =*» (2) очевидным образом.
(1) =>¦ (3). Сперва зададим отображение р из С (К)п в R формулой
п
Р (У) =
t = 1
366
4. Теория разложения
где / = '(/i> /2. •••> fn)- Очевидно, что р однородно, а по лемме 4.1.9 оно также субаддитивно.
Далее, пусть Y обозначает подпространство в С (К)п, образованное векторами вида /= (/, f, ..., /). Определим линейный функционал ф на Y, положив Ф (f) = |х (/). Так как v -< |л, то, согласно предложению 4.1.6, v (f) :> |х (f) > > (х (/). Поэтому
п
Ф (/)< v (f) = ? (f) = Р (/)•
i = i
Из теоремы Хана — Банаха следует, что ф обладает непрерывным линейным продолжением на С (К)'1, и если сохранить за ним обозначение ф, то ф (/) sg; р (/). В явном виде имеем
П П
— ? {(—fi)) sc ф (/) < 2 XlVi (fi)- ( * )
i^\ t = l
Теперь, для fi > О также и —(—ft) > 0, так что функционал ср положителен, причем
|ф(/)К max II/г IL.
Введем равенством
(f) = ф (Л).
где fk — векторе k-й компонентой, равной /, и с нулевыми остальными компонентами. Из (*) вытекает, что |Х/г (1) = 1 (здесь 1 в левой части обозначает функцию, тождественно равную единице) и, значит, [I/, — вероятностная мера. Далее, имеем
М-А (/) < П- (/)•
Но если f S (К), то (—/) = —/, поэтому
Ц* (/) > v* (/).
Таким образом, |х;; >- v*. Наконец, выбрав /= (/, /, ..., /), получим
П
ц (}) = Ф (/) = J] (f).
‘=-1
(2) => (1). Возьмем f ? S (К) и рассмотрим все конечные разбиения °11= = компакта К на бэровские множества Ui. Пусть Xi обозначает
индикатор множества U;, а Я; и V; определены соотношениями Я; = v (Uг) и Xidvi = yjdv. Тогда v = jи по предположению существует разложение
(X = ^”=1Яг[х;, такое что у мер |х; и V; общий барицентр со;. Согласно предложению 4.1.1, каждую |ц можно аппроксимировать мерами с конечным носителем и тем же барицентром со;. Используя выпуклость и совершая соответствующий предельный переход, получаем
f («О < N (/)¦
Кроме того,
v; (/)< f («;) + sup \f (щ) — f (а>)\.
Поэтому
v(fXP(f)+ sup sup I f(m) — / ((0) |.
l<?<n
4.2. Экстремальные, центральные и субцентральные разложения 367
Наконец, для любого заданного е > 0 можно подобрать Ui так же, как в доказательстве предложения 4.1.1, с тем чтобы обеспечить выполнение неравенства v (/) ^ и (/) + 8- Следовательно, v -< ji-
Теперь воспользуемся этим результатом, чтобы частично охарактеризовать отношение порядка на пространстве состояний С*-алгебры. Если мера |я симплициальна, т. е. |я ? & при некотором со ? Е%, то следующее предложение вполне характеризует соотношение |я )> v через включение соответствующих множеств операторов (/), xv (/) ? (91)'.
Предложение 4.2.2. Пусть со— состояние С*-алгебры 9.1 с единицей, а (я, v — две меры из М,0 (Е<%). Пусть (|я) обозначает
положительную часть единичного шара в L” (|я). Рассмотрим два условия:
(1) Ц > v;
(2) {х, (g); g G L” (u)j 3 (kv (/); / 6 L?+ (v) j.
Всегда (1) влечет (2), а если |я ? & (M?0 (fgc), то и (2) влечет (1).
Доказательство. Предположим, что (i >- v, и возьмем f ? L(v). Введем vx и v2 формулами
, , v(fg) , ч v((l -l)g)
Vl(g)~v(f)’ 't(g)~—(l -f) '
Тогда v = + (1 —X) v2, rp,eX=v(f). Поэтому, в силу предложения 4.2.1,
существует такое разложение (я = fyij + (1 — X) |.i2, что (хг и v* имеют общий барицентр со,-. Так как Хщ ^ ц, найдется такая функция g ? ^1+(И). что Xd\ii = gd\i. Далее, имеем
