Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Все эти понятия мы привлечем, исследуя отображения множества состояний С*-алгебры в множество состояний ее С*-подал-гебры. Некоторые наиболее очевидные факты резюмирует.
Лемма 4.1.36. Пусть С*-алгебра ® и ее С*-подалгебра 91 имеют общий единичный элемент. Определим отображение с у -ж е н и я г: Eg ->¦ Е% формулой (г со) (А) = и (А), А ? 91. Тогда если F — бэровское (соотв. борелевское) подмножество в Ещ^, то г-1 (F) является бэровским (соотв. борелевским) подмножеством в Eg. Наоборот, если G — борелевское подмножество в Еg, то г (G) — аналитическое подмножество в Е%.
Далее, пусть Д — положительная регулярная мера Бореля на Eg и на борелевских подмножествах F s % задана мера (х соот-ношен ием
(х (F) = Д (г'1 (F)).
В таком случае (х — регулярная мера Бореля на Е%. Для всякого (х-измеримого F <= прообраз r~l (F) s Eg будет Ji-измерим. Далее, если G — борелевское подмножество в Eg, то
(х (г (G)) Д (G).
Следовательно, если Д сосредоточена на G, то (х сосредоточена на г (G), а фактически даже на некотором F^-подмножестве в г (G).
Все утверждения леммы вытекают из сделанных ранее замечаний и того факта, что отображение сужения г непрерывно, если Eg и Е%i снабжены своими слабыми* топологиями.
Этот пункт мы завершим описанием свойств отображения г при определенных предположениях о взаимосвязи 91 и 6. А именно, нас интересуют условия, при которых г осуществляет связь между чистыми состояниями на 6 и факторными состояниями на 91. Следующее предложение будет полезно в дальнейшем при обсуждении экстремальных и центральных разложений состояния.
364
4. Теория разложения
Предложение 4.1.37. Пусть 91 и 23 — две С*-подалгебры С*-алгебры Е. Предположим, что 91, 23 и 6 имеют общую единицу, 91 ? 23' и 91 U 23 порождает 6 как С*-алгебру. Отображение суженияг: -> ?щ, задаваемое формулой (гсо) (А) = со (А) при
всех А ? 91, отображает Е§ на Ещ_ и являете я слабо* -слабо* непрерывным. Далее,
s (%) -f(^ (%)) —
где обозначает множество факторных состояний 91. Если Ъ абелева, то <% (Е^) = г (<S (?(s;)).
Доказательство. Непрерывность г очевидна. Из предложения 2.3,24 следует, что г является отображением на к & — г (^й))-
Пусть со — чистое состояние на ©, а (§ш, ям, йш) — ассоциированное циклическое представление. Так как яш (Я) и пш (25) порождают неприводимое множество (©), то
К) («) и яш(®)Г = S’(©J.
Пусть проектор Р принадлежит яш (St)" П яш (St)'. Так как пш (St)'' S яш (S3)', то Р ? яш (95)' и поэтому Р ? {яш (31) U яш (33)}' = я (?)' = СИ. Следовательно, яш (31)" П яш (Я)' = СИ, а значит, лш (ЗТ)" — фактор. Но отображение А|—>.яа (Л)[ям (St) йш] совпадает с представлением §1, ассоциированным с состоянием г со, так что г со — факторное состояние St.
Наконец, если 33 абелева, то 33 содержится в центре G. Тогда для со ?
е * (ЕЬ)
яш (33) S яш (Е) П "а (®)' = СИ.
Поскольку яш (?) совпадает с С*-алгеброй, порожденной яш (31) и яш (33), мы имеем ям (3t) = яи (©), следовательно, яи (31) — неприводимый набор операторов. Тем самым m—чистое состояние и г (S (?§х)- Обратное
включение уже было доказано, так что г (S (^g)) = ^ (^3[)-
4.2. Экстремальные,' центральные и субцентральные разложения
4.2.1. Экстремальные разложения
В этом разделе мы применим общую теорию, развитую в предыдущем разделе, к некоторым определенным типам разложений состояний С*-алгебры 91 с единицей. Начнем с изучения экстремальных разложений состояния со на 91, т. е. разложений по чистым состояниям.
Экстремальные разложения со строятся с помощью ортогональных мер, описанных в пункте 4.1.3. Теорема 4.1.25 сопоставляет каждой абелевой подалгебре фон Неймана 23 в (91)' ортогональную меру figg ? (j^), а теорема 4.1.28 утверждает, что
4.2. Экстремальные, центральные и субцентральные разложения 365
максимальной абелевой 23 соответствует максимальная (xsg в в (Ут (fgj). Последний результат не оптимален, и можно в дополнение к нему показать, что псевдососредоточена на#” (fgj). Тем самым при некоторых весьма общих условиях, скажем для всех сепарабельных 21, можно заключить, что максимальные ортогональные меры максимальны в Ма (?щ) и сосредоточены на с?
На этом пути мы и приходим к разложению искомого типа.
Для того чтобы получить эту уточненную характеризацию максимальных ортогональных мер, мы сначала рассмотрим простейшую ситуацию, когда алгебра (91)' абелева, и убедимся, что соответствующая (21)' ортогональная мера действительно максимальна. Никакие добавочные предположения об 21 при этом не нужны. Затем, опираясь на этот результат и привлекая отображение сужения, введенное в пункте 4.1.4, мы установим результаты для более общих ситуаций, когда (91)' неабелева. Даже в случае абелевой (21)' изложение несколько пространно, потому что приходится заниматься сравнением ортогональных мер с неортогональными. А для целей эффективного сравнения необходимо более глубокое, чем требовалось ранее, понимание порядковой структуры, определяемой отношением <\
