Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Единственное не доказанное еще соотношение —¦ это соотношение (1) в теореме 4:1.25. Начиная доказательство, мы проверили, что 23 s (91) U Р\'. Но если С ? {лм (21) U Р\', то
Сйи ^ CPQa = PCQ„ G 1Шш].
Значит, С ? 33 и (21) U Р\' s 93, как показывает следующая
Лемма 4.1.27. Пусть — абелева алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве § с отделяющим вектором Q. Пусть Ш — абелева подалгебра фон Неймана в Ш. Тогда для А ^ Ш из условия Лй ? [5RQ ] следует, что А ? 31.
Доказательство. Если Р= [5Ш ], то соответствие В ? 911—> ВР определяет *-изоморфизм. Вектор Q —циклический и отделяющий для ШР в [91Q]. Согласно предложению 2.5.9, существует замкнутый оператор Q, присоединенный к 91, такой что Q ? D (Q) = D (Q*) и ДО = QQ. Тогда для любого А' ? ? 50Г ? 91' имеем
AA'Q = A'AQ = A’QQ = QA’Q,
т. e. A 15щ,а = Qj Поскольку fl цикличен для 501' (предложение 2.5.3) и Q замкнут, то Q ограничен и А — Q.
4.1. Общая теория
353
Теорема 4.1.25 приводит множество ортогональных мер (?gf) в прямое соответствие с множеством абелевых алгебр фон Неймана 33 s ли (21)' и с множеством проекторов Р = [33й(0]. Каждое из этих множеств обладает естественным упорядочением, и мы хотим показать, что указанные соответствия сохраняют порядок.
Теорема 4.1.28. Пусть (i и v — ортогональные меры на с барицентром со, а 33ц, Рц и 23v, Pv — отвечающие им согласно теореме 4.1.25 абелевы подалгебры в ли (21)' и ортогональные проекторы. Следующие условия эквивалентны'.
(1) р. > v;
(2) 2V э 23v;
(3) Рд ^ Pv',
(4) ц (| Л - |х (А) |2) > v (| А - v (А) |2), Л ? 21.
Доказательство. Мы докажем, что (1) => (4) => (3) =*- (2) => (1).
(1) =>. (4). Это очевидно, так как |х(Л) = v (А) = А (ш) и А*А — выпуклая функция.
(4) =>- (3). Справедливо соотношение
И (А*А) = (Йа, яш (Л*) РцЯм (А) Йа) = (яа (А) Q(0, Р^яа (A) Qa).
Но (х (А*А) > v {А*А), поэтому
(л« (A) Qa, Р^яа (A) Qa) >- (яа (A) Qa, Pvna (А) Qa)
при всех А ? St. Поскольку Qa — циклический вектор для яа (St), отсюда следует, что Рц > Pv.
(3) =(ь (2). Вектор Qm — циклический для яа (St), а значит, в силу предложения 2.5.3, отделяющий для яа (St)'. Из леммы 4.1.27 вытекает, что
% = {В; В |= яш(«)', BQa ? Prf},
и аналогично устроена алгебра 33v. Следовательно, Рц > Pv влечет э 5BV.
(2) =*•• (1). Согласно предложению 4.1.26, множество мер fx^j образует возрастающую сеть (по отношению к упорядочению -<), когда ,91 пробегает множество всех конечномерных подалгебр в SS^, и пределом этой сети в слабой* топологии является (X- Поэтому можно выбрать 31 ^ и ЭДс ^ 33 ц так, чтобы [Xgj >-
М-4Щ и [Xgj—>И. Переходя к пределу, заключаем, что (х >- v.
Теорема 4.1.28 не только отождествляет упорядочения в трех множествах, рассмотренных в теореме 4.1.25, она также показывает, что упорядочение <( на ортогональных мерах согласуется с упорядочением их среднеквадратичных уклонений Дд, Av, где
А, (Л) = Vр(\ А-ц(А) |2);
величины Ад выступают как естественный показатель разброса мер ц вокруг средних значений |х (Л) = со (Л). Большая (в смысле отношения <() мера имеет и больший разброс. Так как
354
4. Теория разложения
мы рассматриваем меры и v с фиксированным барицентром,
то (Л) = а) (Л) = v (Л) и соотношение (Л) ^ Av (Л), Л ? ? *й, равносильно соотношению
ц,(Л*Л) ^ v {А*А)
при всех Л ? 91. Далее, если А ^ Аг -j- iA2, где Alt Л2 самосопряжены, то
fi (А*А) -- (и (Л;) + И (А;),
поэтому указанное выше соотношение равносильно также соотношению
ц (Л2) ss v (Л2)
при всех Л = Л* ? Так как множество {Л; Л = Л* ? 31} в точности совпадает с множеством вещественных аффинных непрерывных функций на ?щ, то естественно возникает вопрос, всегда ли упорядочение можно охарактеризовать подобным образом. Отрицательный ответ на этот вопрос дает приводимый ниже пример 4.1.29. Таким образом, совпадение упорядочения V с упорядочением среднеквадратичных уклонений оказывается специфическим свойством ортогональных мер.
Пример 4.1.29. Пусть шестиугольник К представляет собой выпуклую оболочку двух равносторонних треугольников с общим центром О, расположенных, как показано на рис. 1. Если вероятностная мера |х сосредоточена в точках А, В, С, причем |х (А) = |х (В) = |х (С), а вероятностная мера v сосредоточена в D, Е, F и v (D) = v (Е) = v (F), то jx и v имеют общий барицентр, а именно общий центр О двух наших равносторонних треугольников. Если расстояние от середины отрезка ВС до вершины F достаточно мало, то можно проверить, что |х (р) > v (р) для всех f ? А (АТ). Тем не менее ц и v не сравнимы относительно >-, так как обе меры максимальны.
А
С
Рис. 1
Заметим еще, что очевидным следствием теоремы 4.1.28 является такое утверждение: мера |л максимальна в множестве ортогональных мер Оа[Е^ тогда и только тогда, когда соответству-
