Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
! N = Ца (!) < На (g) < g (ш)
(первое равенство опирается на аффинность f). Следовательно,
М“) < И (g) < g (“)•
Переходя к инфимуму по g и применяя предложение 4.1.6, получим
П“Х И (!) = f (“)•
Теперь предположим, что Hi. |х2 — максимальные меры с барицентром со. Таким образом, при всех f ? S (АГ)
Hi (!) = Hi (/). Hz (!) = Hz (f),
а значит,
Hi (/) = Hi (!) = f И = Hz (!) = Ha (/)¦
Из равенства Hi (/) = Нг (/) ПРИ Bcex f (z S (АГ) следует, что Hi (g — h) = = Нг (g— h) при всех g, h ? S (АГ). Поэтому Hi = Нг (по лемме 4.1.4), т. e. максимальная мера с барицентром со единственна.
(1) =*¦¦ (2). Согласно предложению 4.1.14, конус максимальных мер М есть
решетка, так что максимальные меры и € (К) образуют симплекс Мх. Но
отображение. Hi—= Ь (и) задает линейный изоморфизм М1 и АГ. Тем самым АГ — симплекс.
(2) =>» (3). Для доказательства этой импликации удобно расширить область определения каждой функции / ? С (К), продолжив / по однородности на
'340
4. Теория разложения
конус С с основанием К, т. е. положив / (Яш) = Xf (ш) при ш ? К, ^ > 0. Заметим, что выпуклость / отвечает субаддитивности продолженной функции:
f(x + y)<f(x) + / (у), х, у ? С,
а вогнутость — супераддитивности:
f (х + у) > / (*) + / (у), х, у ? С.
Далее, если f ? S (К), то верхняя обёртывающая f вогнута и ее продолжение
на С автоматически супераддитивно. Поэтому мы докажем, что f аффинна,
если установим, что ее продолжение также и субаддитивно, а значит линейно. Доказательство основано на следующем свойстве разложения для решеток.
Лемма 4.1.16. Пусть С — конус, являющийся решеткой по отношению к естественному упорядочению. Пусть х, у ? С и
П
X + У = Ц гг,
i = l
где zu z2, zn ? С. Тогда найдутся такие xt, yt ? С, что хг + + yt — Zi при i = 1, 2, ..., п и
П П
У = И Уг-i=i i=i
Доказательство. Сначала возьмем п — 2 и зададим явно
JCl = Z! Д X, У! = Zj — гх Л X,
X2 = X1 — Z1/\ X, У2~ Z2— X + Zx Д X.
Легко проверить все нужные соотношения, за исключением, быть может, включения у2 ? С. Но здесь можно учесть, что, сдвинув точную верхнюю грань пары элементов, мы получим точную верхнюю грань для сдвинутых элементов, а следовательно,
Уг = Zj Д х + (z, — х) = (Zj + (z2 — х)) Д (х + (г2 — х)) = у Д z2 ? С.
В общем случае (при п > 2) 'используем итерационную процедуру. Сначала результат для п = 2 применяем к
* У — zl Ч~ Z;
1=2
и получаем, что zx = % + Уг и
zt —— t t',
i=2
где % -|- t = * и + t' = V- Затем вторично тот же результат применяем к
п
t + t' = г2 + г‘ •
i=3
После /г — 1 шагов приходим к утверждению леммы.
4.1. Общая теория
341
Теперь вернемся к доказательству импликации (2) => (3) в теореме 4.1.15. По лемме 4.1.9 при / ? С (К) имеем
!п п
2 / (г;); г; ? С, zt = х + у i=l 1=1
а по лемме 4.1.16
{п п п
? f (*< + г/;); *г. г// 6 С. ? *г = *> ? г/г = У
( = 1 (=1 1=^1
Для / ? С (К) в силу выпуклости получим
!П П
Е H*i); х‘ € С, ^ ** =
i=i i=i
+ sup 11' / (г/г); г/г € с, J] г/г = г/) = f М + f (г/)-u=i i=i )
Таким образом, f на С и субаддитивна, и супераддитивна, т. е. j аддитивна на С и аффинна на К-
Известны и другие полезные для приложений характеризации единственности барицентрического разложения, не покрываемые теоремой 4.1.15. Простой и полезный пример дает нам
Следствие 4.1.17. Пусть К — выпуклое компактное подмножество отделимого локально-выпуклого топологического векторного пространства. Следующие условия эквивалентны:
(1) всякая точка со ? К является барицентром единственной максимальной меры цш;
(2) существует аффинное отображение со ? ? Мх (К)
точек со в меры с барицентром со.
При выполнении этих условий |iw = vM.
Доказательство. (1) => (2). Если шх, со2 € К и 0 <1 X ^ 1, то мера + + (1 — X) максимальна, так как максимальные меры образуют конус (предложение 4.1.14). Но
