Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 4.1.6. EcAuf ? С (К), то верхняя обертывающая f вогнута, полунепрерывна сверху и, следовательно, измерима. Если [х ? М+ (/С), то
R (f) = 'nf (g); — g 6 S (K), g Ss /}•
Если f ? S (К), то ассоциированное граничное множество д; (К) является множеством типа G6, а значит борелевским множеством.
Доказательство. Вогнутость и полунепрерывность сверху сразу следуют из определения f. Полунепрерывность сверху равносильна открытости множеств {со; f (со) < а), так что f измерима относительно борелевской о-алгебры.
Если Sf = {g; —g ? S (/<]> g > f}> то для любой пары gt, g2 ? Sf и точная нижняя грань g, Д g2 ? Sf. Таким образом, Sf представляет собой поточечно убывающую сеть непрерывных функций с пределом f. Выражение для (X (/) получаем теперь из теоремы о монотонной сходимости.
Наконец, так как / непрерывна, функция f—f полунепрерывна сверху, и множества
Sn = {со; со ? К; f (со) — / (со) < 1/я} открыты. Но f > f, следовательно, д^ (К) = Пп^о ^п•
Следующая теорема дает фундаментальную характеризацию максимальных мер. В основном она подтверждает догадку о том, что максимальная мера сосредоточена на множествах, на которых выпуклые функции достигают'максимальных значений, т. е. на которых / = f.
Используется также термин «верхняя огибающая». — Прим. перев.
332
4. Теория разложения
Теорема 4.1.7. Пусть К — выпуклое компактное подмножество отделимого локально-выпуклого пространства X, и пусть ц ?
6 (К). Следующие условия эквивалентны:
(1) мера fi максимальна относительно упорядочения )> в М+ (К)',
(2) ^ сосредоточена на всяком граничном множестве df (К), т. е.
И (df (Ю) = «и II, / € 5 (К);
(3) n (f) = ^ (/) при всех f ? С (К).
Отметим, что условие (2) по определению эквивалентно совпадению ц (f) = ц'(/) для всех / ? S (К).
Эквивалентность трех перечисленных в теореме условий выводится с помощью более подробного исследования свойств обертывающих f для элементов f ? С (К)- Необходимая нам информация суммирована в двух леммах.
Лемма 4.1.8. Если f — верхняя обертывающая для f ? С (К), то множество
S = |(со, t); (со, t) 6 К X R, t < f (со)}
совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой S' множества |(м, f); (со, t) ? К X R, t < f (м)}.
Доказательство. Функция f вогнута, полунепрерывна сверху и / /. Зна-
чит, S выпукло, замкнуто и S’eS, Предположим теперь, что нашлась такая пара (со0, t0) ? S, что (со0, t0) S'. Из теоремы Хана—Банаха следует существование непрерывного линейного функционала g на X X R со свойствами g (wo> to) > 1 и g (со, t) ^ 1 при t ^ / (со). Такой g должен иметь вид g (со, t) — h (со) -|- X-t, где h — непрерывный линейный функционал на X. Тем самым
h (со0) + kt0 > I и h (со) + V (ш) < •
при всех ш ? К. Выбрав со = со0 и вычтя эти неравенства одно из другого, придем к неравенству X (/ (со0) — t0) < 0. Но поскольку со0 ? К и t0 > / (со0), то
с необходимостью X > 0. Отсюда вытекает, что со'—>(1—h ((?>))/X является аффинной непрерывной функцией, которая мажорирует / и удовлетворяет неравенству t0 у- (1—h (щ))/Х > ; (со0). Полученное противоречие с предположением t0 sg; / (со0) показывает, что S' ~ S.
Лемма 4.1.9. Если f — верхняя обёртывающая для f?C (К), то f (со) = sup {ц (/); ц > 6а, ц имеет конечный носитель}.
Тем самым для любой пары f, g d С (К)
(/ + g) («) < f («) + g («)•
Доказательство. Если ц Уда и носитель ц конечен, то ц = J] "=0Миг, причем набор чисел Л; > 0 удовлетворяет условиям
П П
1=1 / = 1
4.1. Общая теория
333
Но тогда
п п
f (со) > ? lif (со;) ^ ? Xif (шi) = |Л (/); i=i t=i
здесь первое неравенство следует из вогнутости f. Далее, по лемме 4.1.8 найдутся такие > О, со“ ? /С, ? R и ла > 0, что
2X = i, *?</«).
1—1
па
lim U >“«“ =. ш, lim U = f (ш).
“ i=l a i=l
Введем сеть ца формулой
"а
?-“б а ’>
i=l <0i
у нее есть слабо* сходящаяся подсеть Если |х обозначает предел этой
подсети, то
Ъ (|х) = lim Ъ (ца,) = W,
а'
Но, согласно предложению 4.1.1, можно аппроксимировать |и в слабой* топологии мерами с конечным носителем, имеющими барицентр b (ц.) и единичную норму. Тем самым f (<в) меньше, чем супремум, указанный в лемме. Но выше мы уже установили противоположное неравенство, так что требуемое равенство получено.
