Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Если edo6aeoK К метризуемо, то его бэровские и борелевские множества coenadatom, <% (К) является Сб-множеством и CAedy-ющие условия эквивалентны:
(1) v ? Mi (К) максимальна',
(2) v (ЙГ (/С)) = 1.
Доказательство первого утверждения теоремы основывается на двух леммах, которые интересны и сами по себе. В частности, первая из них дает нам некий принцип максимума, который будет
применен в главе 6 при обсуждении вариационных принципов
для равновесных состояний.
Лемма 4.1.12. (принцип максимума Бауэра). Пусть функция f на компактном выпуклом множестве К выпукла и полунепрерывна сверху. Tozda f достигает максимума в крайней точке К.
336
4. Теория разложения
Доказательство. Пусть а = sup / (со) < -)-оо. Положим F = {со; / (со) = а). <о?К
Множество F замкнуто и непусто, благодаря условиям компактности и полунепрерывное™. Кроме того, F устойчиво в АГ в том смысле, что если fi ? (АГ),
а о ? F, то |х сосредоточена на /\ Замкнутые устойчивые в К подмножества F образуют направленное множество (относительно упорядочения по включению). Поэтому, будучи компактным, К. в силу леммы Цорна должно содержать некоторое минимальное непустое устойчивое подмножество F0 CZ F. Предположим, что в F0 имеются две разные точки и со2. По теореме Хана—Банаха найдется непрерывный линейный функционал g, такой что g (coj) > g (со2). Пусть
G-={w; g(to) =supg(co')} П F0.
(D'g F0
Ясно, что G устойчиво как подмножество F0, а потому и как подмножество /С, так как F0 устойчиво в К- Но поскольку со2 ф G, это противоречит минимальности F0; следовательно, F0 = {со0}, где со0 — некоторая точка АГ, и устойчивость F0 требует, чтобы ю0 ? <% (К).
Лемма 4.1.13. Пуст-> мера |i максимальна, и пусть убывающая последовательность положительных /„ ? С (К) сходится поточечно к нулю на <8 (К)- При этих предположениях
lim [i (/„) = 0.
/1->оо
Доказательство. Сперва мы покажем, что при каждом п найдется функция gn ? S (АТ),для которой gns^ fn и
И (fn) — fi (gn) < S.
Для этого достаточно заметить, что |х (/„) = —|х ((—/„)) (по теореме 4.1.7) и М(— fn)) = inf {ц(— g), g?S(K), g^fn}
(согласно предложению 4.1.6). Во-вторых, мы утверждаем, что можно выбрать gn, образующие монотонно убывающую последовательность. Докажем это по индукции. Выберем g„+1 так, чтобы 0 ^ g„+1 ^ gn Д /„+1 и при этом
Ц (gn Л fn+i) — Ц (gn+i) < е + |х (gn) — [х (/„).
Это возможно в силу предыдущих рассуждений. Далее,
Iх (gn) + Ц (fn+i) = Ц (gn Л fn+i) + Ц (gn V fn+i) < Ц (gn Л fn+i) + (fn),
следовательно, [х (/п+1) — fi (gn+i) < е. В-третьих, пусть fn сходится к /, и g„ сходится к g. Мы имеем
0 < fi (/) ^ Mg) + е-
Теперь, по предположению, / = 0 на & (К) и, значит, g = 0 на & (^0. Но g выпукла и полунепрерывна сверху, так что g= 0 на АГ, по лемме 4.1.2, и О < fi (/) « е. '
Обратимся к доказательству теоремы.
Доказательство теоремы 4.1.11. Мера ft регулярна, а а-алгебра бэровских множеств порождается компактными Gg-подмножествами АГ, поэтому достаточно проверить, что ft (С) = 0 для всякого компактного Ga-множества С, для которого С [] S’ (К) — 0. По лемме Урысона существует такая ограниченная
4.1. Общая теория
337
последовательность положительных функций /„ ? С (К), что /„ (со) = 1 при со ? С, а при со ф С
lim /„ (со) = 0.
П-Юо
Поэтому
0 ^ (х (С) ^ lim jx (fn) = 0
Поо
(по лемме 4.1.13).
Предположим теперь, что К метризуемо, и пусть С — произвольное замкнутое подмножество К¦ Введем множества Сп:
Сп — /со; d (со, со') < —для некоторого со' ? с] ;
( п J
здесь d— метрика на К. Множества Сп открыты и С= П„>1 Сп, т. е. С — бэровское множество. Таким образом, бэровские п борелевские множества совпадают.
Мы докажем, что множество 8 (К) борелевское, установив более сильный результат: 8 (К) = df (К) при надлежащем выборе / ? S (К).
Будучи метризуемым компактом, множество К сепарабельно, и, заменяя, если необходимо, метрику d на d/( 1 + d), можно считать, что d (со', со") ^ 1 для всех пар со', со" ? К. Пусть теперь {со„} — плотная последовательность точек в К- Зададим / ? С (К) равенством
/ (со) = J] 2~п d (со„, со)2.
Ясно, что / ? S (К). Далее, для любых со', со" ? К, со' =j= со", можно указать п, при котором со„ ближе к со', чем к со", поэтому функция^ (со„, •), а стало быть, и / строго выпуклы на отрезке [со', со"]. С помощью первой выкладки из доказательства предложения 4.1.10 получим
Этим установлено, что если со ? К, но со ф df (К), то со ф df (К). Поэтому 8 (К) э df (К). Предложение 4.1.10 позволяет теперь заключить, что 8 (IQ = = df (К), так что, в силу предложения 4.1.6, 8 (К) есть множество типа G6.
