Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Далее заметим, что
(Яи (-4) Ош, (/) яи> (в) fi«)i = { dP (“') f (“') (А*В).
Поскольку яи (Щ) ?2Ш плотно в §а и |)хд (/)Щ < \]f]\x, то /|—^(-ф, Хц (/) ф) непрерывно в a (L°°, L1)-топологии на единичном шаре пространства L°° (|х) при всех г|з, ф ? Наше утверждение о непрерывности следует теперь из теоремы Крейна—Шмульяна.
Лемма 4.1.19 предоставляет нам три равносильных способа описания свойства ортогональности двух функционалов. Второй из них по существу представляет собой некоторое условие на отображение Хц, введенное в лемме 4.1.21, и следующее предложение показывает, что ортогональность меры |х можно выразить в виде алгебраического условия на хй.
Предложение 4.1.22 (теорема Томиты). Пусть |х — положительная регулярная мера Бореля на Следующие условия
эквивалентны:
(1) мера ортогональна;
(2) отображение (/) задает *-изоморфизм L°° (ji) и
(?°° (И-)) ^ (21)';
(3) отображение (/) есть *-морфизм. Если эти условия выполнены, то
23 = Ы/); feL-m
является абелевой подалгеброй фон Неймана в (Щ)'.
Доказательство. (1) => (2). Предположим, что |х ортогональна. По лемме 4.1.21 отображение f\—^х^ (/) линейно и положительно. Если/—проектор, то найдется такое борелевское множество 5 Е , что / = %s, индикатору множества S. Но по предположению ¦
J ф. (ш') о)'-f- | dp (ю') со'= со и j dp (са') со'± J dp (со1) со'.
s %\s s ?gt\s
Значит, согласно лемме 4.1.19, хд (/) будет проектором. Если / и g— ортогональные проекторы, то / < 1 — g. 11 Следовательно, Хр, (/) < 11 — хд (g) и хд (/) хд (g) = 0. Теперь, если / и g—произвольные проекторы из L°° (ft), то каждая из пар {/ (1 — g), fg}, {fg, (fl — f) g} и {/.(A — g), (1 — f) g} состоит из ортогональных проекторов. Тем самым из разложений
/ = fg + / (1 — g) и g = gf + g (1 — f)
вытекает, что хд (/g)=x|Ji (/)хд (g). Далее, любые элементы /, g ? L°° (|x) можно аппроксимировать по норме линейными комбинациями проекторов, поэтому,
*) Здесь / и g рассматриваются как элементы алгебры фон Неймана L°° (ft) в пространстве L2 (ц), а 1 обозначает единицу этой алгебры. — Прим. перев.
4.1. Общая теория
347
ввиду оценки ||>V (fl IK II fL- соотношение (fg) = (f) (g) выполняется
для всех /, g ? L°° (н), т. е. является *-морфизмом. Наконец, для / ? Z,°° (ц)
II *ц (/) ??co II2 = (?2Ш, % (f/) = J ф (со') | / (со') |2,
так что отображение точное.
(2) => (3). Эта импликация тривиальна.
(3) => (1). Предположим, что выполнено (3), и рассмотрим произвольное
борелевское множество S в ЕОператоры и (^?gj\s) будут взаимно
ортогональными проекторами с суммой 11, поэтому, по лемме 4.1.19, ф (со') со'_L ф(со')со',
s %\s
т. е. |х ортогональна.
Докажем последнее утверждение предложения. Пусть Ва образуют равномерно ограниченную слабо* сходящуюся сеть элементов из 18 с пределом В. Так как изометрично, сеть (Ва) равномерно ограничена в L°° (и), и у нее
должна найтись слабо* сходящаяся подсеть с пределом /. В силу непрерывности должно выполняться равенство (/) = В. Следовательно, единичный шар в 33 слабо* замкнут (по теореме 2.4.11).
Рассмотренное предложение позволяет нам частично локализовать ортогональные меры Оа (?§i) в множестве всех мер из
Мсо (%)•
Следствие 4.1.23. Если ц ? (Уа (Е%), то ц ? & (M№ (Ещ))т
Доказательство. Предположим, что и ф 8 (Ма (?gj))- Тогда |х = (Hi 4-
4- Нг)/2, где ^1, ^2 ? Мщ (^gt) и M-i Нг- Поскольку 0 < Hi < 2н, то при
некоторой функции Л, О < h ? L°° (и), должно выполняться равенство Hi = = fyx, а так как Hi =h И> то 1 — h > 0. Имеем
(Ош, иц (1 - h) ка (A) QJ = J dn (со') (1 - h (со')) А (со') = н (А) - Hi (А) = О
при всех А ? St и, следовательно, (1 — Л) = 0. Однако это приводит к заключению, что 1 — h = 0, в противоречие с установленным выше.
Крайние точки множества Ма (?gj) обычно называют симпли-циальными мерами. Нетрудно показать, что обладающая конечным носителем мера ц ? Ма (Е%j) симплициальна
тогда и только тогда, когда состояния (Oi, со2, ..., аффинно независимы. Позднее мы получим более общую характеризацию симплициальных мер в том же плане (лемма 4.2.3). Следствие 4.1.23 показывает, что ортогональные меры симплициальны, но в общем понятия ортогональности, максимальности и симплициальности связаны довольно слабо. Для двух несовпадающих максимальных мер (?§х) мера (р,! + [х2)/2 максимальна
в (?gt) (согласно предложению 4.1.14), но не симплициальна.
348
4. Теория разложения
Если, однако, имеется единственная максимальная мера fia ? (j то она симплициальна (в силу того же предложения
4.1.14). В пункте 4.2.1 мы покажем, что из единственности максимальной меры следует, что она ортогональна, а потому симплициальна. Далее, отметим, что для со Ф Ж (?зд) точечная мера бщ ортогональна, симплициальна, но не максимальна. Приведем еще один пример симплициальной меры, которая максимальна, но не ортогональна.
