Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Второе утверждение леммы вытекает из первого; достаточно учесть, что супремум суммы не превосходит суммы супремумов.
Доказательство теоремы 4.1.7. Обратимся теперь к доказательству теоремы.
(1) =*- (2). Положим р (g) = ц (g) для g ? С (АГ). При всех X > О и g? ? С (К,) имеем р (kg) = Хр (g). Кроме того, по лемме 4.1.9, при всех g, Л ? ? С (К) должно выполняться неравенство р (g + Л) <: р (g) + р (Л). Тем самым, в силу теоремы Хана—Банаха, можно найти линейный функционал v на С (К), такой что v (/) = ц (/) для некоторой функции / ? S (К) и v (g) ^ ^ Ц (g) Для всех g ? С (/С). Если взять g ^ 0, то g =?1 0 и v (g) ц, (g) <; 0. Таким образом, v ? М+ (К). Если же —g ? S (К), то g= g и v (g) ^ ц (g) = = jli (g), а это влечет v >- |x. По предположению ft максимальна, так что v = (х и потому
(Д, (/) = V (/) = |А (?)
для той самой выделенной f ? S (АГ), т. е. р, сосредоточена на Э/ (AQ.
(2) =*- (3). Отображение f ?С (КУ—субаддитивно по лемме 4.1.9. Значит,
^ Cf) — V («К И (/ — гХ И (0 + Iх (( — g))
при всех /, g ? С (АГ). Но fi (f) = |х (f) для f ? S (К) по предположению,
и I—g) = —g для g ? S (К) по определению. Тем самым
МЛ — MgX М/ ~ gX И (П — И (g)
334
4. Теория разложения
при всех f, g ? S (К), или, равносильно,)! (f — g) = ц (/ — g) при всех /> g € S (К)¦ Из леммы 4.1.4 получаем тогда, что ц (h) = ц (h) при всех h ? С (К).
(3) =>¦ (1). Допустим, что v >- ц. Если h ? С (К), то, согласно предложению 4.1.6,
V (й) = inf {v (g); —g?S(K),g->h)
< inf {|j, (g); —g g S (K), g > h} = ц (h).
Поэтому с учетом неравенства h h имеем
v (h) ^ v (h) (Л (h) — (i (h).
Таким образом, v (h) [i (h). Заменяя h на •—h, получаем неравенство v (Л) > >• ц (h), так что ju = v, т. e. ц, максимальна.
Теорема 4.1.7 показывает, что максимальные меры сосредоточены на каждом из граничных множеств д/ (К). Покажем теперь, что множество & (К) крайних точек К в точности совпадает с пересечением всех д/ (К). Тем самым можно считать, что в некотором слабом смысле максимальные меры сосредоточены на
S (К), но при такой интерпретации надо соблюдать осторожность, потому что <? (/С) не обязано быть измеримым. К более подробному обсуждению этого вопроса мы вернемся, получив описание S (К).
Предложение 4,1.10. Пусть К — выпуклое компактное подмножество отделимого локально-выпуклого топологического векторного пространства. Множество S (К) крайних точек К и граничные множества dj (К) связаны соотношением
аг(/с)= па, (*).
f?S(K)
Поэтому если В s S' (К) — борелевское множество и |л (В) = = 1 [Д.I для некоторой меры [д. ? М+ (К), то [д. максимальна.
Доказательство. Если ш ? К, но <л ф (К), то <в = (со1 -- (о2)/2 для
некоторых <%, со2 ? К, причем ы1 Ф со2. Пусть / — любая аффинная непрерывная функция с / (Wj) ф / (<й2). Тогда
a*i + co2\ (/ (coj) + / (ш2))2 _ /2 (coj) + /2 (ш2) (/ (щ) + / (ш2)2
/2(-
Тем самым, если —g ? S (К) и g > /2, то
Поэтому
,1(и)> /-К).+ /а.М >/Мю),
В частности, ш ф др (К), так что
&(К)^П df (К).
f?S(K)
4.1. Общая теория
335
Обратно, если со ф df (IQ для некоторой / ? S (К), то / (со) > / (со) и по лемме 4.1.9 существует мера ц ? Мг (К) с конечным носителем и барицентром ш, для которой ц (/) > / (оз). Значит, если fi = то, во-первых,'
П
Ь ((х) = ^ Хцщ = со
г=1
и, во-вторых,
п
и- (/) = м (©о > / И-
t=i
Из этих двух соотношений следует, что ш ф & (/С) и потому
«У (К) ?= П <?/ (К).
Два полученных противоположных включения устанавливают требуемое равенство.
Последнее утверждение теоремы получим, заметив, что для / ? S (К) верно равенство ц (д/ (К)) = ||ц||. так что (j, максимальна по теореме 4.1.7.
Каждое из граничных множеств df (К) борелевское, и даже типа G6, согласно предложению 4.1.6, однако & (К) не обязано быть борелевским, будучи пересечением несчетного семейства df (К). И действительно, можно построить примеры, в которых <% (К) не является борелевским. Поэтому не самоочевидно, в каком смысле максимальные меры сосредоточены на <§ (К), и именно в этом месте естественно обратиться к понятию псевдососредоточенности.
Теорема 4.1.11. Пусть К — выпуклое компактное подмножество omdeAUMoao локально-выпуклого топологического векторного пространства. Tosda KaoicdaH максимальная мера ^ ? Мг (К) nceedococpedomomna на множестве крайних точек <$ (К), т. е. ^S(^) = 1 для всякого бэровского множества В, держащего <% (К).
