Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть 21 обозначает С*-алгебру с единицей И. Состояния 2% алгебры Я образуют выпуклое подмножество в двойственном пространстве 51*, причем компактно в слабой *, или а (51*,
51)-топологии (см. теорему 2.3.15). Как правило, нас интересуют разложения данного состояния со, представляющие это состояние в виде выпуклой комбинации состояний, являющихся крайними точками некоторого замкнутого выпуклого подмножества К в Е%. Множество К может быть прямо определено каким-либо физическим условием; скажем, К. может задаваться как множество состояний, инвариантных относительно некоторой группы '“-автоморфизмов алгебры .Я. Оно может определяться и неявно; например, если 23 — абелева подалгебра фон Неймана, содержащаяся в коммутанте (01)' представления (фш, яш, йш),
ассоциированного с со, то в качестве К можно выбрать слабое * замыкание множества
= jcoт, (?>г ? со/-(Л) = (TQa, (Л) йщ), Т ? 33}.
Мы рассмотрим различные возможности:
(1) экстремальное разложение, когда К — Ещ и производится попытка разложить состояние со по чистым состояниям;
(2) центральное разложение, когда 33 = (51)" П (^У
(центр алгебры (51)") и целью является выразить со в виде суперпозиции факторных состояний;
4.1. Общая теория
321
(3) разложение на бесконечности', если со — локально-нормальное состояние квазилокальной алгебры, то можно ввести
алгебру на бесконечности Зш ? ОЮ" П п<о (W (см- определение 2.6.4 и теорему 2.6.5) и попытаться выразить со в виде комбинации состояний с тривиальными алгебрами на бесконечности;
(4) эргодическое разложение: если g ? Gi—з-т,, ? Aut 91 задает группу *-автоморфизмов 91, а К — множество тй-инвариантных состояний:
К = {со; CO^fgj;, 0) (Tg (Л)) = СО (Л), g^G, А ?91},
то К будет замкнутым выпуклым подмножеством в и разложение инвариантного состояния по экстремальным инвариантным состояниям называется эргодическим разложением; естественным образом возникают и различные модификации, например разложение по состояниям, инвариантным относительно подгруппы.
В каждой из перечисленных ситуаций для рассматриваемого состояния со ? К мы пытаемся найти разложение вида
со (Л) = j d\i (со') со' (Л),
где ц — мера, сосредоточенная на множестве & (К) крайних, или экстремальных, точек /(. В исследованиях такого рода переплетаются различные аспекты, относящиеся к геометрии, теории меры и алгебре, но их до некоторой степени удается различать. Прежде всего мы изучим, игнорируя наличие алгебраической структуры, разложение точек со выпуклого компактного подмножества К локально-выпуклого отделимого топологического векторного пространства J). Геометрически это соответствует барицентрическому разложению, выражающему со через экстремальные точки, или, ииаче говоря, изучению мер, сосредоточенных на
& (К) и имеющих фиксированный центр тяжести (барицентр) со. Подобные разложения представляют огромный интерес, если такая барицентрическая мера единственна.
Общую теорию барицентрических разложений можно разделить на две части. Сначала в множестве положительных мер на К вводят отношение порядка полагая по определению: v -«< (х
Под разложением элемента со подразумевается интегральное представление вида со = j^co'dfi (со'), иначе говоря, представление со посредством некоторой меры (1, распределенной на. выпуклом компакте К в пространстве X. Интеграл понимается в слабом смысле, т. е. f (со)= j ^ d\i (со') f (со') для всякого непрерывного линейного функционала f на X. Далее рассматриваются главным образом меры (1, сосредоточенные на 8 (/С); в таком случае говорят о разложении со по крайним точкам. — Прим. перев.
11 У. Браттели, Д. Робинсон
322
4. Теория разложения
тогда и только тогда, когда v (/) < (/) для всех выпуклых не-
прерывных вещественных функций f на К. Если v и ц имеют один и тот же барицентр, то соотношение v -<^ р. указывает на то, что носитель [х «удален дальше» от барицентра, т. е. носитель большей (в смысле введенного отношения порядка) меры «ближе» к границе К. Поэтому в качестве первого шага к построению экстремальных разложений пытаются построить Максимальные меры с фиксированным барицентром со. Такие меры обязательно существуют, их можно охарактеризовать некоторыми по сути дела геометрическими свойствами. Аналогично, существование единственной максимальной меры для каждого со ? К эквивалентно геометрическому свойству К — свойству быть симплексом (см. п. 4.1.2).
После изучения максимальных мер второй важный шаг — выяснить, в каком смысле эти меры сосредоточены на множестве крайних точек <8 (К). На первый взгляд кажется резонным предположение, что измеримости <§ (К) достаточно для того, чтобы fi (<% (К)) — 1 для всякой максимальной вероятностной меры. Но это не так — один из небольших сюрпризов теории барицентрических разложений. Если <8 (К) — борелевское множество и вероятностная мера ц, удовлетворяет условию ц, (<8 (К)) = 1, то мера fi максимальна, но вот в обратную сторону, существуют примеры, когда & (1() борелевское, (.i максимальна, а ц (8 (К)) =
