Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Йордановы автоморфизмы алгебр фон Неймана в стандартной форме были охарактеризованы как унитарные отображения естественного конуса на себя (теорема 3.2.15) независимо Конном [Con 1 ] и Хаагерупом [Наа 1,2]. Теорема 3.2.18 ранее не публиковалась, но близкие соображения и лемма 3,2.19 приведены в статье Браттели и Робинсона [Вга 3].
Пункт 3.2.2
Теория ограниченных дифференцирований С*- и Ц7*-алгебр была по существу заложена Капланским [Кар 3], который в 1953 г. показал, что каждое дифференцирование 6 алгебры фон Неймана 9W типа I является внутренним, т. е. б (А) = i [Н, А ] с Я ^ Ж. Тем не менее большого прогресса не наблюдалось до 1965 г., когда появилась работа Кадисона [Kad 7], послужившая толчком к быстрому развитию теории. Большая часть результатов, полученных к 1970 г., описана в книге Сакаи [ [Sak 1[], а более подробные библиографические указания приведены в замечаниях, касающихся пункта 3.2.3.
Изучение неограниченных дифференцирований началось гораздо позднее, оно было мотивировано главным образом проблемами математической физики, в частности проблемой построения динамики в статистической механике. Один из ранних результатов принадлежит Робинсону [Rob 7], применившему в 1968 г. технику аналитических векторов для построения С0-группы изометрий РГФ-алгебры по заданному генератору. Основные события, однако, разыгрались после 1975 г.; онн были в значительной степени вдохновлены статьями Сакаи [Sak 2] и Браттели и Робинсона [Вга 5 1.
Предложение 3.2.22, равно как и идея применить технику диссипативных операторов, принадлежит Кисимото [Kis 1]. Ограниченность всюду определенного дифференцирования (следствие 3.2.23) была ранее доказана Сакаи в работе 1960 г. [Sak 3] с помощью остроумных преобразований, привлекавших технику извлечения квадратного корня. Этот результат был улучшен в 1976 г. в работе Оты [Ota 1 ], где показана ограниченность каждого замкнутого по норме дифференцирования б с областью определения D (б), инвариантной относительно извлечения квадратного корня. Доказательство Оты основано на результате Кунца [Cun 1 ], показавшего, что полупростая банахова *-алгебра с единицей
312
3. Группы, полугруппы и генераторы
тогда и только тогда допускает эквивалентную норму, превращающую ее в С*-алгебру, когда она замкнута относительно операции извлечения квадратного корня из положительных элементов, т. е. самосопряженных элементов с неотрицательным спектром. (Банахова *-алгебра полупроста, если она имеет точное ^представление в гильбертовом пространстве.)
В виде предложения 3.2.24 переформулирован один результат Кадисона [Kad 7]. Конструкция Ял из примера 3.2.25 впервые была приведена Эллиоттом [ЕП 2]. Критерий замыкаемости (предложение 3.2.26) принадлежит Чжи [Chi 1], а аналогичный критерий унитарной выполнимости (предложение 3.2.28) — Браттели и Робинсону [Вга 3].
Следует подчеркнуть, что существуют дифференцирования С*-алгебр, плотно по норме определенные, но не допускающие замыкания. Первые примеры, приведенные Браттели и Робинсоном [Вга 5], были основаны на вычислении производной для функций на канторовом подмножестве единичного отрезка [0, 1]. Такая процедура позволяет определить дифференцирование алгебры непрерывных функций на этом множестве, не имеющее замыкания; с ее помощью строятся и примеры незамыкаемых дифференцирований РГФ-алгебр. Оказывается, если РГФ-алгебра 91 порождается возрастающей последовательностью матричных алгебр то можно найти такое дифференцирование б с плотной по норме областью определения D (б), что с: D (б) при всех п и 0, но б Ф 0. Затем Хёрмэн [Her 1 ] построил расшире-
ние обычной операции дифференцирования на С (0, 1), которое является незамкнутым дифференцированием алгебры С (0, 1). Пока неизвестно, существуют ли незамкнутые дифференцирования алгебры SS'ff (§) (см. [Вга 5] или пример 3.2.34, где идет речь о дифференцированиях ЗИЯЯ (§) и 3S (§)).
функциональное исчисление для элементов из областей определения замкнутых дифференцирований начато Сакаи (см. статьи Браттели и Робинсона [Вга 5], Пауэрса [Pow2] и Сакаи [Sak 2]). Пауэрсом получена лемма 3.2.31 об операции экспоненцирования, а Сакаи и Браттели—Робинсон получили аналогичный результат для вычисления резольвенты. Однако самым эффективным является, по-видимому, подход к этой проблематике, использующий модифицированную резольвенту, как в предложении 3.2.29. В частности, так можно легко получить следствие 3.2.30, установленное ранее Браттели и Робинсоном с помощью утомительных преобразований [Вга 6]. Теорема 3.2.32 упоминается в [Вга 6], но по сути дела она содержится в статье [Pow 2]. В последней статье имеется также следующее утверждение. Если б замкнуто по норме и А = А* ? D (б), то / (А) ? D (б) для всякой функции /, имеющей непрерывную первую производную.
Замечания и комментарии
313
Однако такое утверждение опровергается явным контрпримером Мак-Интоша [Мс1 1]. Поскольку Л ограничен, вопрос о принадлежности / (Л) к D (6) зависит лишь от свойств / на интервале, содержащем спектр Л, и сводится по существу к выяснению поведения / в окрестности нуля. В примере Мак-Интоша рассматривается функция, которая ведет себя в окрестности нуля как
