Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
цирование алгебры, так что приводимая ниже теорема Эллиотта, Акеманна н Педерсена неулучшаема.
Теорема. Пусть 51 — сепарабельная С*-алгебра. Следующие условия эквивалентны:
(1) каждое ограниченное дифференцирование 51 выполняется мультипликатором;
(2) каждая суммируемая центральная последовательность в 51 тривиальна;
(3) 51 представима в виде 51 = 51, ® 512, где 51х имеет только тривиальные центральные последовательности, а 513 является ограниченной прямой суммой простых С*-алгебр.
Центральной последовательностью называется такая равномерно чграниченная последовательность \Вп\ в С*-алгебре 23, что 1 \Вп, А ] I 0 при всех А ? 23. Центральная последовательность суммируема, если Вп сходится в сильной оператор-
316
3. Группы, полугруппы и генераторы
ной топологии на 58**, и тривиальна, если в центре М (33) имеется такая последовательность {Zn\, что || (Вп —Zn) А |] 0 при
всех A ? 33- Ранее в работе Сакаи [Sak 5] было доказано, что все дифференцирования простых С*-алгебр определяются мультипликаторами без каких-либо предположений о сепарабельности 91.
При исследовании С*- и и?*-динамических систем (см. предложение 2.7.1) возникает другое понятие спектра, отличное от спектра Арвесона и более полезное. Рассмотрим для простоты такую №*-динамическую систему {ЗЯ, G, а\, что ЗИ — фактор, a G — локально-компактная абелева группа. Тогда Г-спектр а, иногда именуемый спектром Конна, определяется как
Г(а) = п
({о»
здесь Е пробегает все ненулевые проекторы в алгебре Ша ({0}) неподвижных элементов. Нетрудно показать, что Г (а) является
замкнутой подгруппой в G. Для доказательства привлекается та же техника, что и в доказательстве спектральных свойств эрго-дических систем в пункте 4.3.3 (см. теорему 4.3.33). Следующая теорема, обобщающая теорему о дифференцированиях (следствие 3.2.47), принадлежит Конну [Соп 4].
Теорема. Пусть G — локально-компактная абелева группа, действующая как группа автоморфизмов на факторе Ш, и пусть компактна группа а (сх)/Г (а). В таком случае ортогональное дополнение
Г (а)1 = \t ? G; (у, t) = 1 при всех у ? Г (а)}
к множеству Г (а) состоит из тех t ? G, для которых at унитарно выполнимы элементами из 3)1“ ({0[).
Отсюда сразу же вытекает следствие для одиночного автоморфизма а: если Г (а) ф Т, то некоторая его степень ап, п ^ 1, является внутренним автоморфизмом.
Спектр Г (а) несет обширную информацию об алгебре неподвижных элементов 2И“ ({0}) и о скрещенном произведении W (ЗЯ, а). Конном [Соп 4] доказана следующая
Теорема. Пусть G — локально-компактная абелева группа, действующая на факторе ЗЯ, для которой спектр Г (а) дискретен. При этих условиях а (а) == Г (а) тогда и только тогда, когда алгебра 5ДОа ({0}) — фактор.
Конну и Такесаки [Соп 2] принадлежит такая
Теорема.Пусть G — локально-компактная группа, действующая на факторе Ш. Алгебра W* (371, а) является фактором тогда
и только тогда, когда Г (а) = G.
Замечания и комментарии
317
У этих трех теорем имеются естественные обобщения на алгебры фон Неймана, не являющиеся факторами, а также на С*-алгебры. В случае С*-алгебр естественно заменить факторы не простыми С*-алгебрами, как можно было бы ожидать, а примерными С*-алгебрами, которые характеризуются тем, что любые два ненулевых замкнутых двусторонних идеала имеют ненулевое пересечение. Если С*-алгебра допускает точное неприводимое представление, то, как легко видеть, она примарна; обратное верно для сепарабельных С*-алгебр [Dix 1 ]. Различные варианты приведенных трех теорем читатель найдет в [Iku 1], [Ole 2—4], [Kis 2, 3], [Bra 10]. Подробное изложение этих результатов имеется в главе 8 монографии [[Ped 1]].
Пункт 3.2.4
- Теоремы 3.2.50 и 3.2.51 имеют несколько первоисточников. Неалгебраические аспекты этих утверждений покрываются «банаховой» теорией (изложенной в разделе 3.1). К числу свежих алгебраических элементов относятся свойство резольвенты сохранять положительность — условие (В2), которое впервые было рассмотрено в работе Браттели и Робинсона [Вга 6], и свойство 6 (1) = 0 — условие (А2), которое было предложено Кисимото [Kis 1 ] в качестве замены свойства быть дифференцированием.
Первое утверждение предложения 3.2.52 получено Эллиоттом [Е11 2], а остальные вытекают из результатов статей Пауэрса и Сакаи [Pow 3, 4], посвященных РГФ-алгебрам, или из результатов статьи Браттели и Робинсона [Вга 5]. Теорема 3.2.53, доказанная Браттели и Кисимото [Вга 11], представляет собой пример применения техники разложения нестационарной теории возмущений для построения динамики квантовых спиновых систем.
Пункт 3.2.5
Пространственные дифференцирования, возникающие при наличии инвариантных состояний, рассматривались в работах Браттели и Робинсона [Вга 5, 6] и Пауэрса и Сакаи [Pow 3, 4], а общая теория, изложенная в данном пункте, была впервые опубликована в [Вга 3]. Обобщение предложения 3.2.58, в котором вместо аналитических элементов привлекаются квазианалитиче-ские, было дано Браттели, Хёрмэном и Робинсоном [Вга 7]. Теорема 3.2.59 для отделяющего вектора Q приведена в [Вга 3]. При анализе случая Н ^ 0 используются соображения, близкие к раннему варианту доказательства теоремы Борхерса—Арвесона [Вог 2] (см. также обзорную статью Кадисона [Kad 8]).
