Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
формулой
Я,; = ехр (с(0).
находим, что
K+tas(rfl)K' = z'(s- о
при 0 ^ s, t, s + t 6/2.
Из оценки || г' (s, <) — 11 || sg; 6е' при 0 sg: s, t sg; 6/2 с помощью спектральной теории извлекаем оценки
|| у (s, <) || < arc cos (1 — (6е')а/2), 0 sg; t sg; 6/2,
Ц с (0 К arc cos (1 — (6e')2/2), 0 < г < 6/2,
и, наконец,
j) Ц — 11 J] < 6e'
при 0 < sg; 6/2. Теперь расширим отображение < ? [0, 6/2] i—а- Ц ? ^(8)
до борелевского отображения всей вещественной прямой R в °U (Q) и положим
г" (s; t) = k'^jz'(s, t) k'sas (Я^).
3.2. Теория для случая алгебр
305'
Ясно, что г" будет 2-коциклом и
г" (s, t) = И при 0 г=С s, t г=С 6/4.
Заменив 6/2 на 6/4 и е' на 0, мы далее по г" введем г'" аналогично тому,
как г' определялся по г. Сперва при 0< 1, п ? Z задаем
?iQ = H, ^-б (^-Ьл)/4 = ^6лг/4г" (6rt/4, 6^/4),
а затем полагаем
г'" (s, t) = (я;^ г" (s, о я;+’.
Как и выше, проверяется, что г™ будет 2-коциклом, удовлетворяющим условиям
г"' (р, t) = 11 при 0 < * < 6/4, р ? (6/4) Z,
г"'(s, t) = 11 при O^s, ^ < 6/4.
Следовательно, утверждение а) леммы 3.2.74 дает г'" (s, t) = 11 при всех s, Л Введя
л 'л
AS =
мы будем иметь
г(5) 0 =<+/>, 0^-I«s(x"-I)=C+(C-4(^-1).
Далее, если положить Fs=?istt7s, то Г5 окажется 1-коциклом, причем
Ts+г = Tsas (Г()> (А) = (А) .
Но отображение t \—> борелевское, и SDt* сепарабельно. Поэтому 11—1\ непре-
рывно, как видно из следующего рассуждения. Сепарабельность 931* обеспечивает существование точного нормального состояния со на $№. Если S’ — естественный положительный конус, отвечающий циклическому представлению в § = (см. определение 2.5.25), а ф f S0t*+ (—> \ (ср) ? й5 — ассоциированное отображение, определенное в теореме 2.5.31, то из оценки
II I (<Ti) — I (фа) II2 II ф1 — Фг II и сепарабельности SDt*+ вытекает, что & — сепарабальное подмножество в §. Так как § = SP—&-\- i (&> — согласно предложению 2.5.26, то § сепарабельно. Теперь выберем в качестве t г—> Ut каноническую унитарную группу, выполняющую t i—s. at (следствие2.5.32); тогда t\—> Vt = TfU( будет унитарным представлением R, поскольку Гг является коциклом. Отображение 11—> Vt борелевское, и .?) сепарабельно, поэтому 11—> Vt сильно непрерывно. Обосновывается этот вывод с помощью регуляризации примерно так же, как в следствии 3.1.8 проводится доказательство того, что из слабой непрерывности следует сильная. Значит, отображение 11—> Г* = VfU_t сильно непрерывно. Наконец, получим оценку на Г^. Объединяя полученные ранее оценки
||^-Я1<е', |*|<6;
|| — 11 ||<3е', 0s^<6/2;
\\Ц — И||<6е', о<^6/2;
1 Г;-И || = 0, 0 <6/4,
находим, что
II Г5 — И ||< е' + Зе' + 6е' = 10е' при | s | < 6/4.
Теперь мы заготовили необходимые средства, позволяющие уточнить основную теорему теории аппроксимации (теорему 3.1.36) в случае алгебр фон Неймана.
306
3. Группы, полугруты и генераторы
Теорема 3.2.75. Пусть Ш—алгебра фон Неймана с сепарабельным преддвойственным пространством и а, р — две а-слабо непрерывные однопараметрические группы *-автоморфизмов 9JJ с генераторами соответственно ба и бр. Следующие условия эквивалентны:
(1) существуют такое еъ 0 < ех < \/ 199/50 ~ 0.28, и такое бх > 0, что
IK — P/ll < 81 при Ul <
(2) существуют такие е2, 0 < е2 < (/ 199/50, и б2 >0, такой внутренний автоморфизм у алгебры и такое ее ограниченное дифференцирование б, что
бр = У (ба + б) у-1,
I а, су о а _t —у I < е2 при \t\ < б2.
Если эти условия удовлетворены, то
II Pf — “Л = Ца_^Т° at — VII + 0(t)
и среди унитарных элементов, выполняющих у, найдется такой W G 3R. для которого верна оценка
ЦР-ИЦс 10(2(1 - У 1 - е?/4)}1/2.
Тем самым || у — 11| < 1 Oej + О (e‘f).
Доказательство. (1) =>- (2). По теореме 3.2.73 существует сильно непрерывное отображение / ? I? i—> 1\ ? St (ЭД?) со свойствами
r,+s = r,a< (Г5),
Р/ (А) = Ttat (А) Г?, Л еЖ, t?R,
||r,-1l||s?e' = 10 {2(1 - - е|/4)}1/2 < 1^2 , | / | < 6/4.
