Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(1) 6(fg) = 6(f)g+f6(g), f, g ?D(6),
3.2. Теория для случая алгебр
295
то из теоремы следует существование ст-слабо непрерывной группы *-автоморфизмов at алгебры L°° (X; dfi). Рассматривая борелевские множества в X как проекторы в L°° (X; d|i), мы видим, что группа at определяет такую группу сохраняющих меру автоморфизмов Tf пространства X, что
(а//) (х) = f (7»
при всех f ? L°° (X; djx). Тем самым теорема 3.2.61 может играть роль при интегрировании уравнений движения в классической механике.
Наконец, заметим, что обе части а) и б) условия (2) теоремы
3.2.61 необходимы при установлении условия (1). Хотя формальная выкладка
iHJbV*AQ = iHA*Q = 6 (Л)*Я = JbMHHAQ
и демонстрирует коммутативность Я и А, возникающие в случае неограниченности обоих операторов Я и А проблемы с областями определения лишают такой вывод доказательной силы. И действительно, если отбросить часть б) условия (2), то теорема становится неверна, как показывает следующий
Пример 3.2.68. Пусть Q„ — единичный вектор в гильбертовом пространстве §о- Предположим, что в §0 имеются две алгебры фон Неймана, -Лх и У12, такие что fflj ?= %, 921 =j= а вектор Я0 Яля обеих алгебр циклический и отделяющий. (Примеры такого рода встречаются в квантовой теории поля постоянно, так как вектор основного состояния на квазилокальной алгебре будет циклическим и отделяющим для каждой локальной алгебры.) Рассмотрим одномерный тор — группу ТГ = R/Z, снабженную мерой Хаара, и зададим действие ТГ на алгебре фон Неймана 2 (ф0) ® 2°° (Т) = L°° (2 (§0); ТГ) соотношением
frtf) (s) = f(s — t)
при всех f ? L°° (2 (?)0); ТГ). Пусть алгебра фон Неймана ЭЛ — это подалгебра, состоящая из f ? L°° (2 (ф0; Т), для которых
, 9?х, 0<s< 1/2,
/ (s) €
.Зг2, l/2<s<l.
Реализуем ЗЛ как алгебру операторов умножения в @ = L2 (§0; Т), которые на ? (z €> действуют согласно формуле (/?) (s) = / (s) ? (s), / ? L°° (2 (фо);
T). Пусть Я ? § — такой элемент, что при всех s ^ I
Я (s) = Я0.
Для 9Л этот Я будет циклическим и отделяющим. Далее, U (t) | (s) — ? (s — t) определяет на S) такое унитарное представление группы ТГ, для которого при f a L°° {2 (§„);" I)
т,(/) = U (t)f U (t)* и U (t) Я = Я. Пусть 6 — инфинитезимальный генератор группы т и iH — = 11® (—d/dt) — генератор U. Тогда D (6) состоит из непрерывных по Гёль-деру функций из группы Т в алгебру 2 (?)), снабженную топологией нормы. Введем б на 9Л как 6 |D где
Я(6) = {/; f G D(b) п-SW, &(/) G Ж}.
Это б оказывается ст-слабо плотно определенным дифференцированием 9Л, и
6(f) = i [Н, Л при / ? Ш.
296
3. Группы, полугруппы и генераторы
Множество D (б) Я содержит подмножество D, состоящее из всех \ вида s I—&¦ / (s) ?20, где функция s 1—/ (s) непрерывна по Гёльдеру и / (s) ^ 91х. Согласно следствию 3.1.7, это D является существенной областью для И, так как U (t) D=
— D, и потому D (6) Q — также существенная область. Но очевидно, что ихШЩфШ, если t ф Z.
3.2.6. Теория аппроксимации для групп автоморфизмов
В разделе 3.1 мы выделили три различных аспекта проблематики, относящейся к устойчивости однопараметрических групп автоморфизмов. А именно, мы обсуждали теорию сходимости, теорию возмущений и теорию аппроксимации. Все результаты раздела 3.1 применимы к однопараметрическим группам *-авто-морфизмов топологических алгебр, и наличие алгебраической структуры не добавляет существенно новых штрихов в изложение первого из аспектов (теория сходимости). В разделе 5.4 мы разберем различные алгебраические усовершенствования зависящих от времени рядов теории возмущений и покажем, что результаты пункта 3.1.5 можно значительно уточнить в случае ст-слабо непрерывных однопараметрических групп ^-автоморфизмов алгебр фон Неймана. Напомним, что такие группы, согласно следствию 2.3.4 и теореме 2.4.23, являются Со-группами изометрий. В частности, для сравнения двух таких групп, разность которых имеет норму порядка О (t), можно воспользоваться теоремой 3.1.38. Следующий результат усиливает эту теорему.
Предложение 3.2.69. Пусть о-слабо непрерывные однопараметрические группы at и *-автоморфизмов алгебры фон Неймана ¦$? имеют генераторы 8а и бр соответственно. Следующие условия эквивалентны:
(1) [I at — Р; || = О (t) при t -у 0;
(2) D (ба) = D (бр), и существует такое ограниченное диффе-
ренцирование 8 алгебры Ш, что
8а (А) - бр (А) = б (А) при всех А ? D (6а) = D (6Р).
Замечание. Из доказательства этого предложения и их следствия 3.2.47 видно, что [| 8 || = lim^0|| at — P;||'U|. Более того,
существует такой оператор Н = Н* ? 3)?, что || Я || < J б ||'2 и
б (А) = i [Я, А ]. Отметим, что, усовершенствовав пример 3.1.39,
