Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
284
3. Группы, полугруппы и генераторы
Теорема 3.2.61. Пусть Ш — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве ?, обладающая циклическим и отделяющим вектором О. Пусть Н — самосопряженный оператор в ?, такой что НО. = 0. Введем множество
D (б) = \А е ЭЯ; ПН, А ] е ЭЯ}.
Пусть А обозначает модулярный оператор, ассоциированный с парой (9№, Я), и пусть — гильбертово пространство графика, отвечающее оператору А1/2. Следующие условия эквивалентны:
(1) е1*нШ-»н = ЭЯ, t ? R;
(2) (a) D (6) Q образует существенную область определения для Н,
(б) Н и Асильно коммутируют, т. е. AisHA-is = Я, s ? R;
(3) сужение Н на D (б) Q, рассматриваемое как оператор в в существенном самосопряжено.
Примечание. Гильбертово пространство графика определяется как линейное пространство D (А1/2), снабженное скалярным произведением
(Ф, ф)# = (А1/2^, А1/2ф) + (ф, ф).
Так как ЗШ s D (А1/2), то сужение Я на D (б) Q будет корректно определенным оператором в ф#, поскольку
D (б) Q с iHD (б) Q = б (D (б)) Q s 9Ш S §#,
где б (В) = i [Н, В] при В ? D (б). Это сужение является симметрическим оператором в ?#, потому что при всех А, В ? D (б) справедливы следующие соотношения, где J — модулярная инволюция, ассоциированная с Q, a S = JЛ1/2:
(ЛЙ, НВО)# = (ЛЙ, НВО) + (А'/2ЛЙ, А1/2 (_*6 (В)) Q) =
= (НАО, ВО) — I (S6 (В) Q, ЯЛЙ) =
= (НАО, ВО) — i (б (В*) Q, Л*Й) =
= (НАО, ВО) — (НВ*0, Л*Й) =
= (НАО, ВО) — (В*0, НА*0) =
= (НАО, ВО) + (А>/2ЯЛЙ, А 1?2ВО) = (НАО, ВО)#.
Следовательно, условие (3) в формулировке теоремы имеет смысл.
Доказательство. Мы докажем, что (1) =>¦ (3) =>- (2) =*» (1). На трудном этапе доказательства ((2) => (1)) применены некоторые результаты по группам модулярных автоморфизмов, вывод которых мы отложим до раздела 5.3.
Если выполняется (1), то при всех а ? R\{0}
(/ + iaH) D (6) Q = R (1 + аб) fi = fKfi,
3.2. Теория для случая алгебр
285
согласно предложению 3.2.55 и теореме 3.2.51. Но ЭЛЯ представляет собой су щественную область определения для 5 = JД1/2, поэтому ЗЛЯ плотно в§>#. Согласно примечанию к теореме, сужение Н на D (б) Я — симметрический оператор в причем это существенно самосопряженный оператор, как показывает
пример 3.1.21.
(3) =>- (2). Условие (3) позволяет утверждать, что (I + iaH) D (б) Я плотно в !q# при любом а ? R\{0}. Тем самым (/ + iaH) D (6) Я плотно в ф относительно обычной нормы, т. е. D (б) Я оказывается для Н существенной областью определения. Принимая во внимание, что б (А*) = б (Л)* для А ? D(б), получаем
(/ + iaH) SI = 5 (/ + iaH) ? при | ? D (б) Я и a ?R\{0}; здесь S = JД1^2, как и выше. Таким образом,
S (1 + iaH)-iy\ = (/ + I аЯ)"1 Sr\ при всех т) ? (/ + iaH) D (б) Я. Но согласно (3) множество (/ + iaH) D (б) Я плотно в D (Д1^2) = D (S) по отношению к норме графика, отвечающей Д1^2. Значит,
S (/ + iaH)-1 г) = (/ + iaH)-15г)
при всех г) ? D (Д1/'2), т. е.
5 (/ + iaH)-1 э (/ + iaH)'1 S
при всех а ? R\{0}. Там самым оператор 5 коммутирует с (/ + iaH)'1 и его сопряженным (I — iaH)-1; поэтому и компоненты его полярного разложения J и Д1/2 коммутируют,с (/ + iaH)-1. В частности, Д сильно коммутирует с Н.
(2) => (1). Если 6 — генератор однопараметрической группы 11—> xt в заданной соотношением
xt (Л) = eitHAe~itH, А <= 2 (ф), t <= R,
то достаточно показать, что (/ + ct6)-1 (ЗЛ) при всех а ? R\{0}, потому
что
хt (Л) = lim (/------б) (Л)
n^f СО ^ П /
(предел этот существует в ст-слабой топологии в силу теоремы 3.1.10), а тем самым xt (501) ? ЗЛ при всех t ? R. С учетом о-слабой замкнутости б достаточно будет проверить, что
R (I + об) s (/ + об) (D (б)) (*)
ст-слабо плотно в ЭЛ при всех а ? R\{0}. Пусть t,—>af обозначает модулярную группу, ассоциированную с парой (ЗЛ, Я), где со — векторное состояние, со (Л) = = (Я, ЛЯ). Назовем централизатором ЭЛШ состояния со множество
9ЛШ = {Л ? ЭЛ; af (Л) = Л, t ? R} = {Л ? ЭЛ; со (АВ) = со(5Л), В ? ЭЛ}.
(Проверку эквивалентности этих двух определений ЭЛИ нетрудно произвести, но, чтобы не нарушать порядок изложения, мы отложим ее до предложения 5.3.28.)
Для случая когда со — следовое состояние (т. е. со (АВ) = со (ВА) при всех Л, В? ЗЛ), теорема вытекает теперь из следующей леммы.
Лемма 3.2.62. Примем предположения теоремы 3.2.61. Если выполнено условие (2) из ее формулировки, то
mac=R(I + аб), а ? R \ {0}.
286
3. Группы, полугруппы и генераторы
Доказательство. Начнем с доказательства плотности (3Jim П # (/ + «6)) ?2 в множестве Так как ?> (6) Q является существенной областью определе-
