Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
тt(A) = lim eitHп Ae~ltHn,
/I—>• oo
причем сходимость (no норме) равномерна по t на конечных промежутках.
Эта теорема сразу же выводится из предложения 3.2.52 и теоремы 3.1.34 с помощью оценки
II ^IsL ^iK-„ т 1эГ^ I 2 I Нп — Кп, т II-
3.2. Теория для случая алгебр
275
3.2.5. Пространственные дифференцирования и инвариантные состояния
В пункте 3.2.3 при рассмотрении ограниченных дифференцирований алгебры фон Неймана было установлено, что каждое такое дифференцирование имеет вид
б (Л) = i [Н, А ], (*)
где Я — ограниченный оператор, который можно даже выбрать и среди элементов Ж. Рассмотрим более общий пример, когда сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов t ? R >—^ Ut, для которых Ut3R.U_t ? Ж при всех t ? R, задает семейство отображений
А С Ж -*.«< (Л) = UtAVt.
Это слабо* непрерывная группа ^-автоморфизмов Ш, генератор которой б имеет вид
б (А) = i [Я, А ].
В данном случае Н является самосопряженным.генератором унитарной группы U(. Теорема Борхерса—Арвесона (теорема 3.2.46) гарантирует, что при условии полуограниченности Н его можно выбрать среди операторов, присоединенных к 9И.
Эти примеры показывают, что изучение дифференцирований вида (*) представляет интерес; такие дифференцирования мы называем пространственными:
Определение 3.2.54. Симметрическое дифференцирование б, заданное на некоторой подалгебре С*-алгебры 31 ограниченных операторов в гильбертовом пространстве §, называется пространственным, если существует в ф такой симметрический оператор Н с областью определения D (Н), что D (б) D (Н) s D (Я) и на D (Я)
б (А) = i IH, А], А е D (б).
Мы говорим в таком случае, что Я выполняет (или осуществляет) б.
Отметим, что в предложении 3.2.28 уже был получен критерий пространственности дифференцирования. А именно, достаточно, чтобы существовало такое состояние со (А) = (Q, ЛЙ) на 91, что ?2 — циклический для 31 вектор и
| со (б (Л)) |а < L {© (А*А) + со (АА*)\
при всех Л ? D (б) и некотором L ^ 0. В частности, этот критерий применим, если со инвариантно относительно б, т. е.
со (б (Л)) = О
276
3. Группы, полугруппы и генераторы
при всех А ? D (8). Однако если со инвариантно, то 8 не просто является пространственным — можно еще так выбрать Н, чтобы Q ? D (Н) и
HQ = 0.
Инвариантные состояния особенно важны в физических приложениях, и они будут вторым предметом наших рассмотрений в этом пункте.
Вообще говоря, существует несколько неэквивалентных способов определить пространственное дифференцирование 8. Разные возможности связаны с тем, что коммутаторы [Н, А ] при неограниченном Н — это объекты, не имеющие однозначного определения, и можно принять разные соглашения для придания им смысла. Каждое из этих соглашений приводит к своему определению пространственного дифференцирования. Если, однако, 8 выполняется самосопряженным Н, то никакой неопределенности не возникает, как показывает следующее
Предложение 3.2.55. Пусть Н — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ?, и пусть
at {А) = eiiHAe~iiH, А ? 3 (&),
соответствующая однопараметрическая группа автоморфизмов алгебры 2? ($). Пусть 8 обозначает инфинитезимальный генератор этой группы. Если А ? & ($), то следующие условия эквивалентны:
(\) A ?D (8);
(2) найдется такая существенная область определения D для Н, что полуторалинейная форма
¦ф, ф ? D X D -+ i (Н\|), Лф) — i (i|), ЛЯф) ограничена',
(3) найдется татя существенная область определения D для Н, что AD Е D и отображение
ip ? D h—> i IH, А ] ф
ограничено.
Если условие (2) выполнено, то ограниченным оператором, ассоциированным с указанной полуторалинейной формой, будет 8 (Л). Аналогично, ограниченное отображение из условия (3) определяет 8 (Л) ? S? (ф).
Доказательство. Переходя к замыканиям операторов, убеждаемся, что выполнение (2) и (3) влечет выполнение тех же условий с D = D (Н); обратная импликация очевидна. Таким образом, в дальнейшем можно считать D = D (Н).
3.2. Теория для случая алгебр
277
(1) => (2). Пусть А ? D (б) и г|), <р ? D (Я). Тогда (ip, б [А) ф) = lim -г- {(г|), ettH Ае~инц>) — (г|), Аф)} = *
= lim ( -j- (е~“Н ~ О Ф. Ae~itH<p) + lim U, A~ - i) <p) =
0 4 1 / 0 4 1 >
= (—iHty, Аф) + (г|), A (—iH) ф).
(2) =>¦ (3). Предположим, что существует такой ограниченный оператор В, что при <р 6 D (Я)
Это соотношение показывает, что при фиксированном ф ? D (Я) функционал ipi—> (Яг|), Аф) непрерывен. Значит, Аф ? D (Н*) = D (Я), а также (Яг|), Аф) = = (г|з, ЯАф). Поэтому
Импликация (3) =>¦ (2) тривиальна, и остается только проверить, что
