Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(2) =t- (1). Предположим, что А удовлетворяет условию (2) и В — соответствующий ограниченный оператор. Тот же прием, который был применен в доказательстве первой части теоремы, приводит при \]з, ф ? D (Н) к равенству
которое означает, что А ? D (б) и б (А) = В.
Далее, заметим, что пространственное дифференцирование алгебры фон Неймана, которое выполняется самосопряженным оператором Я, имеет расширение, порождающее слабо* непрерывную группу *-автоморфизмов at алгебры 9! (§). Явное выражение для а( таково:
при всех В ? 9? (§). Используя характеризации генераторов, данные в предыдущем пункте, например теорему 3.2.51, можно вывести некоторые типичные свойства генераторов.
Следствие 3.2.56. Пусть б — симметрическое пространственное дифференцирование алгебры фон Неймана ЗЛ в гильбертовом пространстве ?, т. е. при всех А ? D (б)
(Яг|), Аф) = (г|з, АЯср) — i (г|з, бф).
(ф, Вф) = i (г|з, [Я, А] ф).
lim
о
№. («s+f (A) —gs (А)) ф)
= (t. as (В) ф),
t
Следовательно,
о
так что мы получаем соотношение
S
О
at (В) = eitHBe~itH
б (А) = i [Н, А].
278
3. Группы, полугруппы и генераторы
Предположим, что оператор Н самосопряжен. Тогда б имеет о (ЗЯ, Ш%)-замыкание и
Г(/-«6) (Л) || ^ J /4 || при всех А ? D (б) и а ? R.
После этих предварительных замечаний обратимся к анализу свойств инвариантных состояний. Итак, будут рассматриваться пространственные дифференцирования б (Л) = i [Н, А ] операторной алгебры ЗЯ с таким циклическим вектором Q, для которого HQ = 0. Полученные в пункте 3.2.4 характеризации генераторов значительно упрощаются при наличии инвариантного состояния. Вот типичный результат в С*-случае:
Следствие 3.2.57. Пусть б — симметрическое дифференцирование С*-алгебры 91, и пусть со — такое состояние, что со (б (Л)) = 0 при всех А ? D (б) и, кроме того, ассоциированное с со представление (?>, я, Q) точно. Предположим еще, что
или R (I ± б) = 21, где черта означает замЫкание по норме,
или б обладает плотным множеством аналитических элементов.
При этих условиях б допускает замыкание по норме и его замыкание 6 порождает сильно непрерывную однопараметрическую группу *-автоморфизмов 51.
Доказательство. Дифференцирование б можно замкнуть, согласно предложению 3.2.26, и замыкание будет пространственным дифференцированием, согласно предложению 3.2.28. Если Н обозначает симметрический оператор, выполняющий б, то НО, = 0 и, следовательно, я (б (Л)) Q = iHn (Л) Q при всех Л ? D (б). Любое из двух указанных выше предположений влечет поэтому самосопряженность в существенном оператора Н (см. пример 3.1.21)._ Таким образом, применив следствие 3.2.56, можно заключить, что || (/±_б) (Л) || >• || Л || при всех A d D (б). Теорема 3.2.50 утверждает теперь, что б — генератор.
Для последнего следствия имеется утверждение, до некоторой степени обратное. Если 91 — простая С*-алгебра с единицей и а( — сильно непрерывная однопараметрическая группа ^автоморфизмов с генератором б, то существует «^-инвариантное состояние: со (at (Л)) = со (Л), Л ^ 91. Представление автоматически окажется точным, потому что 91 проста и со (б (Л)) = 0, Л ? D (б). Существование со устанавливается с помощью усреднения состояний семейства со; (Л) = со0 (at (Л)), при этом мы опираемся на слабую * компактность множества состояний на 91.
У следствия 3.2.57 есть очевидный аналог для случая алгебр фон Неймана, но для них верен и более сильный результат.
Предложение 3.2.58. Пусть пространственное дифференцирование б алгебры, фон Неймана ЗЯ выполняется симметрическим
3.2. Теория для случая алгебр
279
оператором Н. Предположим, что ЭЛ имеет циклический вектор ?2, для которого НО, = 0. Предположим также, что существует такая *-подалгебра Ssfl (б), что
(1) © сильно плотна в ЭЛ,
(2) б (©) ?= ©,
(3) ©Q состоит из аналитических для Н элементов.
Тогда оператор Н существенно самосопряжен, .и если Н — его замыкание, то
е^Же~1Ш = Ж, t ? R.
Доказательство. Множество образует плотное множество аналитических для Н элементов и Я®?2 != ©Q. Поэтому И самосопряжен (см. пример 3.1.21). То что мы имеем дело с автоморфизмами, будет доказано, если мы установим, что
eitJi<m.'e-ltR = Ш',
так как тогда
{еиЯАе~иЙ, A'] = eiiTl[A, е~п”А’еиЯ] е~и” = 0
при всех А ? и А' ? Ш'. Для А, В, С ? ® и А' ? Ш' определим функцию g формулой
g(t) = (BQ, [А, e~itHA’eitH] Со)-
В силу цикличности Q и плотности ®, достаточно показать, что g (t) = 0 при всех таких наборах А, В, С и А'. Но
g (t) = (eitJiA*BQ, A'eitHCQ) — (eitHBQ, A'eitHACQ), так что при нашем выборе А, В, С обеспечена аналитичность g. Далее,
