Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3.2.50. Пусть 31 — некоторая С*-алгебра с единицей Ц, и пусть б — замкнутый по норме линейный оператор с областью определения D (б), плотной в 31 по норме. Генератором сильно непрерывной однопараметрической группы *-автоморфизмов алгебры 31 этот б будет тогда и только тогда, когда он удовлетво-
3.2. Теория для случая алгебр
271
ряет набору условий, в который входит по крайней мере один представитель от каждой из приведенных ниже групп (А), (Б), (В); пригодны все комбинации условий, за исключением (А2), (Б2), (В2).
(Al) D (б) является *-алгеброй, и б — симметрическое дифференцирование 91;
(А2) И ? D (б) и б (1) = 0;
(Б1) (/ + аб) (D (б)) = 91, а ? R \ |0};
(Б2) б обладает плотным множеством аналитических элементов',
(В 1) || (/ + аб) (А) || ^ I А ||, а ? R, А ? D (б);
(В2) (I + аб) (А) ^ 0 влечет А ^ 0 при всех а. ? R, А ? D (б);
(ВЗ) 8 и —б диссипативны.
После удаления условий (А2) и (В2) утверждение теоремы
остается в силе и для 91 без единицы
Доказательство. Сперва допустим, что б является генератором сильно непрерывной однопараметрической группы 11—> xf автоморфизмов Э[, сохраняющих инволюцию. Для этого случая (А1) и (А2) уже были получены нами во введении к пункту 3.2.2. Каждый из автоморфизмов Т/ будет изометрией, согласно следствию 2.3.4, так что условия (Б1), (Б2), (В1), (ВЗ) вытекают из теорем 3.1.16 и 3.1.19. Поскольку Х( сохраняют положительность, (В2) следует из формулы для преобразования Лапласа (предложение 3.1.6):
ОО
(/ + к6)-1(А)= j dte^x_at(A).
о
Перейдем теперь к доказательству достаточности любой тройки условий ((At), (Б/), (Bft)), за исключением (А2), (Б2), (В2), для случая алгебры St с единицей П. Для начала заметим, что (Al) (А2), согласно следствию 3.2.30, так что можно считать г= 2, если пока оставить в стороне тройку ((АI), (Б2), (В2)). По теореме 3.1.19 и замечанию к ней, любая из четырех пар условий ((Б/), (В6)), где / = 1, 2, k = 1,'3, гарантирует, что б будет генератором сильно непрерывной однопараметрической группы изометрий xt. Но (А2) влечет при всех t равенство xt (И) = И, так что каждое отображение xt в силу следствия 3.2.12 окажется *-автоморфизмом.
Далее, рассмотрим тройку ((А2), (Б1), (В2)). При выполнении условия (В2), если (/ аб) (А) = 0, то ±А > 0 и, следовательно, А = 0. Ввиду этого, (Б1) обеспечивает существование (/ аб)-1. Резольвента (/ + аб)-1 сохраняет по-
ложительность, согласно (В2), а из (А2) следует, что (/ + аб)-1 (И) = 11. Значит, || (/ + аб)_1||^ 1, в силу следствия 3.2.6, так что верно (В1). Но мы уже проверили достаточность тройки условий ((А2), (Б1), (В1)).
1) Если условие (Б2) заменить условием
(Б2') самосопряженные аналитические элементы для б плотны в 3tsa>
то все 12 наборов условий так модифицированной теоремы характеризуют генераторы. «Исключительный случай» (А2), (Б2'), (В2) можно рассмотреть почти так же, как случай (А1), (Б2), (В2). Аналогично можно видоизменить теорему 3.2.51 (т. е. из предположений об аналитичности А — А* и справедливости неравенств аЦ А < pil следует, что cd Xf {А) < pi при |/| < /д/2, так что автоморфизмы х( изометричны на самосопряженных элементах из D (б)а, и т. д.).
272
3. Группы, полугруппы и генераторы
Остается единственная комбинация ((А1), (Б2), (В2)). Пусть D (б)а обозначает множество аналитических элементов в D (б). Для А ? D (6)а положим
w - 2 ТГ 6“<Л) ¦»"”(' + 4 *)“(Л)
п> О
tn
npu\t\<tA, где tA — радиус сходимости ряда > 1[ 6^ (Л) ||. Если
(Л) > 0 при некотором t, то при любом е> О существует такое п, что (I -\-+ (tin) 6)п (А + е1!)- Здесь мы использовали (А2). Но тогда А + el :> 0, согласно (В2), и поэтому А > 0. Теперь учтем, что D (б)а является *-алгеброй, так как б — симметрическое дифференцирование (кстати, tAB ~ т1П ^в}> tа* = tA). Затем, при всех t с [ t j < tA,Aj2 = tA/2.
A*A = Xf (t_((A*A)) > 0.
Отсюда мы заключаем, что x_t (Л*А)> 0 при |7| < ^/2. Применив эти рассуждения к положительному аналитическому элементу 11—Л*А/||Л||2 и пользуясь тем, что xt (И) = 1, получим
0s?t,(AM)s?[|A|[21!, \ t |<-у-;
Поскольку б — симметрическое дифференцирование, при | 11 < t^2 имеем xt (А*А) = xt (Л)* xt (Л) и тем самым
и т, (Л) и < I л и, m<4f-
Наконец, это последнее свойство в сочетании с групповым свойством влечет
условие изометричности
II Т, (Л) II = II Л II, Ml<4f-
Рассуждая, как в доказательстве теоремы ЗЛЛ9, можно убедиться, что х расширяется до сильно непрерывной группы изометрий алгебры ЭТ с генератором б. Произведя вычисления с аналитическими элементами, можно проверить, что х будет группой *-автоморфизмов. Последнее замечание в совокупности с теоремой ЗЛ.19 показывает достаточность всех условий ((А 1), (Bi), (В/)), г = 1, 2, / = 1, 3, также и для 5С без единицы.
