Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, для Л ? Xй(E) n s d К
II -7%Г1) Л1) === || ((7S-С^У) t/(Л) Л I =
= I ?/ (F (s) * g) ?/ (А) Л || < || F (s) 3= *мг/(А)Л|<в|Л|.
262
3. Группы, полугруппы и генераторы
(3) =ф- (4) очевидным образом.
(4) =ф- (5). Для каждого компактного К s G имеем
II U(f) Аа-Г(Уо) Ла||:
J dtf (t) (UtAa - (То, t) Аа)
¦::С.
sup Ц UtAa - (у, t) Ла || II f |li + (M + 1) f dt\ f (t) к J
A а\к
Значит, при каждом e>0 существует такое Аа, что ||t/(/)Aa||> > I f (Vo) I — s-
(5) =>- (1). Если f ? 5^, to U (j) = 0 по определению, так что f (y0) = 0 и Vo 6 о (U).
Наконец, покажем, что условия (1)—(5) эквивалентны (6) в указанном случае.
(6) =*-(4). Если —iy0 ? a (S), то оператор t'Vo + 5 не имеет обратного. Но при любом е> 0 операторы —iy0 — 8 — 5 обратимы и
(—t'Vo —е —S) 1 = J elVoi siUtdt,
согласно предложению 3.1.6. Значит, limg^0||(—?у0 + е — S)'11| = оо. Таким образом, существуют такие Ае, что Ае ? D (S), ||Ае||= 1 и lim?^0 (—iy0 + е — S)AB=0. Тогда limE^0 (— iy0 — S) Ае = 0 и
t
d
J dsUs (S -f (-у,,) e ly°s)Ae
^MItlH(S + iy0)Ae
(4) =ф- (6). Если Aa обладают указанными в (4) свойствами, то при е> О
^dteW-etUtAa- j
dte
0,
когда a—>oo. Поэтому || (—i’Vo + 8 — S) Ч>. 1/e и, следовательно, не может существовать ограниченного оператора (—iyB + S)"1.
В предложении 3.1.1 было доказано, что однопараметрическая группа непрерывна по норме тогда и только тогда, когда ее генератор ограничен. Аналогичный результат, привлекающий понятие спектра, формулируется так.
Предложение 3.2.41. Для <т (X, F)-непрерывного равномерно ограниченного представления U группы Q эквивалентны следующие условия-.
(1) спектр <т (U) компактен-,
(2) (J непрерывно по норме.
3.2. Теория для случая алгебр
263
Доказательство. (1) =*- (2). Пусть a (U) компактен и функция f Q L1 (G) выбрана так, что f = 1 в окрестности a (U). Тогда, по лемме 3.2.38, (4), при всех А ? X имеем U (/) А — А. Следовательно,
1 (Ut - /) А || = | (Ut — I) U (/) А || = || (U (ft) - U (/)) АI < М||/, - /Ь Ml-
Поскольку 4ft — f\\i—‘> 0 при t—> 0, представление U непрерывно по норме.
(2) =^- (1). Если G = R, т. е. Ut = ехр (tS), то из предложения 3.1.1 следует, что || 5 || < оо, а так как a (S) s [—1| S ||, || S ||], то условие (1) вытекает из предложения 3.2.40, (6). В общем случае заметим, что для всякой аппроксимативной единицы {fa} алгебры L1 (G) мы имеем || U (fa) — /1| —> 0. Поэтому если % — абелева банахова подалгебра в 2 (X), порожденная U (L1 (G)), то I ? Щ, так что спектр 91 компактен. Если же 7 ? а (81), то, в силу предложения 3.2.40, (5), равенство (U (/)) = J (т) задает характер на 91. В обратную сторону, всякий характер % на 9С определяет характер на L1 (G) при композиции с U, т. е. существует у ? G, такое что % (U (/)) = f (7), но поскольку
1Нт)| = | %(U(f))\<\\U(f)\\,
то из предложения 3.2.40, (5) следует, что 7 ? о (U). Значит, a (U) — о (Щ), а потому a (U) компактен.
Применим теперь только что изложенную спектральную теорию к группам автоморфизмов операторных алгебр. Лемму 3.2.38 можно будет усилить благодаря более богатой структуре таких алгебр.
Лемма 3.2.42. Пусть а — представление локально-компактной абелевой группы G автоморфизмами С*-алгебры 91 или алгебры фон Неймана Ш. Предположим, что а слабо (сильно) непрерывно в С*-случае и о-слабо непрерывно в случае алгебры фон Неймана. Тогда справедливы следующие утверждения (где = 91 или 9Й):
(1) оа (Л*) = — оа (Л);
(2) 31“ (?)* = 31“ (—?), Е с= G;
(3) 91“ (EJ 9ft“ (?2) ^ (Ег + Е2), если Elt Е2 — открытые
подмножества в G;
(4) (Ej) 31“ (Е2) е 9t“ (Ег + Ег), если Elt Е2 — замкнутые подмножества в G;
(5) <та (АВ) = ^TiW+^W).
Доказательство. (1) следует из соотношений supp f = —supp f и a (f) (A)* = = a (f) (А*). Свойство (2) вытекает из (1). Для доказательства (3) замечаем, что в соответствии с леммой 3.2.39, (4) достаточно проверить, что если f, g ? L1 (G) имеют компактные носители supp f и supp g в Ег и Е2 соответственно, а А, В ? IR, то a (f) (A) a (g) (В) s Ша (Ех -|- Е2). Поэтому достаточно показать,
что для h ? L1 (G) с supp h fl (Ег + ?2) = 0 будет a (h.) (a (f) (A) a (g) (В)) =
= 0. Но
« (л) (a if) И) a (g) (В)) = J J Jrfr dsdth (г) f (t) g (s) ar+i (A) ar+s (B)
= J J J dudvdwh (u) f (v — u) g (w 4- v — u) 0^ (A) aw+v (В),
264
3. Группы, полугруппы и генераторы
а
j duh (и) f (v — и) g (w + v — и) = h*(f gw) (v),
где gw (v) = g (v -f- w). Преобразование Фурье последней функции равно h- (f * gw), и поскольку supp (f * g-OT)ssupp f-f supp g e Ег -f ?\>, то h-Q * * kw) = 0. Тем самым, применив теорему Фубини, получим а (Л) (а (/) (Л) а (g) (В)) = 0. Наконец, (4) следует из (3) и леммы 3.2.39, (5), а (5) вытекает из (4) и леммы 3.2.39, (3).
