Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Обсудив свойства дифференцирований алгебры 2? (ф), мы можем теперь завершить характеризацию однопараметрических групп *-автоморфизмов, начатую в примере 3.2Л4, В этом примере
3.2. Теория для случая алгебр
253
было показано, что всякая группа такого типа представима с помощью семейства унитарных операторов Ut в § в виде
at(A)=UtAU't.
Однако осталось еще проверить, что непрерывность {ос,} позволяет выбрать операторы Ut так, чтобы они образовывали непрерывную однопараметрическую группу.
Пример 3.2.35. Пусть а = R — слабо* непрерывная однопара-
метрическая группа *-автоморфизмов S’ (,?)), и пусть б обозначает слабый* генератор а. В таком случае б слабо* замкнут, а потому замкнут по норме, а его область определения D (б) плотна в слабой операторной топологии на 3S (§). Согласно примеру 3.2,14, при всех t имеем at (3’9(ф))= ф), и сужение
отображения 11—э- at на ($) слабо непрерывно, по предложению 2.6.13. Следовательно, D (б) П 35Я1 (Sq) плотно по норме в (§). Тем самым приведенные в примере 3.2.34 рассуждения позволяют считать, что D (б) содержит некоторый одномерный проектор Е. Как было указано перед примером 3.2.34, соответствующее дифференцирование б? = б -j- б? оказывается генератором возмущенной группы *-автоморфизмов af. К тому же af (Е) = Е. Возьмем единичный вектор Q из области значений Е и введем на ф операторы , положив
UfAQ = af (А) й.
Легко проверить, что тем самым будет определена унитарная группа. Например, (UfAQ, UfBQ) = соа (af (A*af__t (В))) = (AQ, af_, (В) Q) = (AQ, U^_tBQ); здесь мы воспользовались инвариантностью сой относительно действия a^, которая вытекает из условия af (Е) = Е. Группа uf сильно непрерывна, так как
I (Uf - /) ЛС2 [|2 = 2<ви (А*А) - (A*af (Л)) - <в0 (af (Л*) Л).
Пусть НЕ обозначает самосопряженный генератор uf\ с помощью НЕ, определенного перед примером 3.2.34, введем Н = НЁ — НЕ. Оператор Н самосопряжен, и если Vt = eliH, то (Л) = UtAU*t. В этом можно убедиться, например, проверив, что генератором 11—> UtAU*t является б? — б? = б.
Таким образом, мы установили, что каждая Сд'группа *-автоморфизмов at алгебры 3? (§) имеет представление at (А) = UtAU*t, где Ut — сильно непрерывная группа унитарных операторов в §.
Обратимся теперь вновь к обсуждению вигнеровых симметрий, которыми может обладать ф. Пусть ф обозначает луч в |>, а ф i—> ь-S- at (ijj) — однопараметрическая группа вигнеровых симметрий. Из примера 3.2.14 и его обсуждения следует, что at индуцирует однопараметрическую группу *-автоморфизмов или антилиней-ных *-автоморфизмов at алгебры 3? (ф) и эти автоморфизмы выполнимы с помощью унитарных или антиунитарных операторов Vt, определенных с точностью до фазового множителя:
Щ (А) = U(AUf,
254
3. Группы, полугруппы и ггнераторы
Если еще известно, что группа симметрий а, непрерывна в том смысле, что
Р (Ф — а/ (Ф), Ф — <*, (Ф)) = Тг ((?„, - at (Е^))2)^0 О,
где Еу — проектор, области значений которого принадлежит \|), то, как легко проверить, группа at слабо* непрерывна. Тем самым, согласно следствию 3.2.13, каждый автоморфизм at является *-автоморфизмом, и пример 3.2.35 показывает, что фазы для \Jt можно выбрать так, чтобы семейство \Ut\ было сильно непрерывным и удовлетворяло групповому закону
ВД = игн.
Таким образом, непрерывные однопараметрические группы виг-неровых симметрий осуществляются сильно непрерывными однопараметрическими группами унитарных операторов.
Теперь мы завершим обсуждение С0-групп *-автоморфизмов алгебры 9? ($).
Пример 3.2.36. Пусть at (А) = UtAU*t — однопараметрическая группа *-автоморфизмов 2 (ф), которая сильно непрерывна, т. е.
lim || ос/ (А) — А [| = О, А <-»о
Далее, пусть Н обозначает инфинитезимальный генератор группы Ut и ЕИ — его спектральное семейство. Предположим, что спектр Н неограничен. Если е > О, б > 0, то нетрудно убедиться, что можно выбрать {ап}п>0 и а так, чтобы интервалы 1п = [ап, ап + а] не пересекались, множества ?//(/я) ф были непусты и при всех t ? (—е, е)
sup | el (an—an+i) 1 — 1 | > 2 — б. I elta — 1 | < .
П ^
Выберем единичные векторы i|5„ ? Ей (Iп) $ и введем У формулой
= ? Фл (фл+i. Ф).
О
Имеем тогда || V || — 1 и
(е * - 0 = (at (V) - V) фп+1 - (Ut - eia"‘) (г^п+1, U_tfn+i) -
- е'“пЧ/. (фл+1. (*/-, -e_'Wb|>„+1)>
так что при 111 < е
2 <Ц (К)-У ||+ 1 +6.
Полученное противоречие означает, что спектр Н должен быть ограничен, а значит, at будет равномерно непрерывна, потому что ||а/ (Л) — А II ^ 2 || А || X X (ехр {| ? 11 Я ID — 1).
3.2. Теория для случая алгебр
255
3.2.3. Спектральная теория и ограниченные дифференцирования
