Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
ям (ос* (Л)) = Utna (Л) U'.
Это вытекает из следствия 2.3Л7. То же самое следствие позволяет так выбрать U, чтобы UtQ>a = при всех t ? R. Тогда простая оценка
I Utna (Л) Йй - (Л) Q J < I а, (Л) - Л |
показывает, что обладает свойством сильной непрерыв-
ности. Если Я — самосопряженный генератор группы U, то (D (б)) !JecD (Я) и
л(0 Ф (^)) i> = 1 . лсо (Л) ] Ф
при всех гр ? (D (б)) ?2И. Тем самым симметрический оператор Я, упомянутый в условии (2) предложения 3.2.28, можно выбрать самосопряженным. Однако в общем случае для произвольного б этого нельзя добиться.
По аналогии с предыдущим примером, когда дифференцирование б было генератором, будем говорить, что состояние со на С*-алгебре 91 инвариантно относительно дифференцирования б этой алгебры, если выполняется инфинитезималъное условие со (б (Л)) = 0 при Л ? D (б).
После знакомства с критериями замыкаемости мы изучим различные свойства областей определения замкнутых дифференцирований. Свойства, о которых пойдет речь, имеют чисто алгебраическую природу. Они часто будут применяться в дальнейшем. Для приобретения некоторых навыков начнем со случая абелевой алгебры.
Если б — замкнутое по норме дифференцирование абелевой С*-алгебры 91 и Л = Л* ? D (б), области определения б, то легко
246
3. Группы, полугруппы и генераторы
проверить, что для любого многочлена Р также и Р (Л) ? D (б) и
б (Р (Л)) = б (А) Р' (А).
Здесь штрих обозначает производную. Теперь возьмем функцию f с непрерывной первой производной. Как известно, можно выбрать такую последовательность многочленов Рп, что Рп f и Рп /' равномерно на спектре А. Тем самым из предыдущей формулы получаем б (Рп (Л)) = б (Л) Рп {А), причем эта последовательность сходится к б (Л) /' (Л). Значит, / (Л) ? D (б), так как б замкнуто, и
б (/ (Л)) = б (Л) Г (А).
Теперь мы хотим выявить аналоги этих свойств для дифференцирований произвольных С*-алгебр, а также получить достаточные условия на функцию /, при которых / (Л) ? D (б), если Л = = Л* ? D (б). Существуют два подхода к построению функционального исчисления такого рода — фурье-анализ и комплексный анализ, и в обоих случаях полезную роль играет
Предложение 3.2.29. Пусть б—замкнутое по норме дифференцирование С*-алгебры 91 с единицей И. Если А = Л * ? D (б) и
X Ф а (Л), спектру А, то А (% 1 — Л)-1 ? D (б) и
б (Л (М — Л)-1 = >1 (М — Л)-1 б (Л).(М — Л)-1.
Если еще предположить, что 11 ? D (Ь), то (Ai — Л)-1 ? D (б) и б ((М — Л)”1) = (М — Л)-1 б (Л) (М — Л)-1.
Доказательство. Обозначим Ах = А (A/J — Л)-1. Если | Я | больше спектрального радиуса Л, то ряд Неймана
АЯ= Ц (ЛА)П+!
сходится по норме и || || ^ [J Л |] (| Я |—||А||)-1. Но An^~l ? D (б),
б (An+1) = 2 Ар6 (А) Ап—р,
Р—о
и двойной ряд
1’22К4)'*и)(4Г
Р=0
также сходится по норме. Значит, Ах ? D (б), так как б замкнуто по норме. Кроме того,
б И*) = Я-i ^ (х)Р 6 (Л) 2 (т~)" = К (М ~ Ау1 6 (Л) (М “ Ау1’
Р> 0 - О
3.2. Теория для случая алгебр
247
Далее, предположим, что | Я„ | >11А ||, Л^0 € ® (б) и Я — Я0
Тогда
<11^0Г1 = inf I У (х° — у)1 Г1-
11 " У?0(А)
О
В силу тех же соображений, Л^ ? D (б), и аналогичные вычисления дают нам действие б на Л;:
«л«> - (т) ? ((^х-1) ^.)>*.> 2 ((^) ^)"
= (4г) (т^) (М _ Л) (М “ Л)'16 (Ля“) (т^) м - Л) (М ~ Л)_1
= Я (ЯП — Л)-1 б (А) (ХП — Л)-1.
Воспользовавшись стандартным приемом аналитического продолжения по Я, заключаем, что А (ЯП — А)'1 ? D (б) при всех Я ф. а (Л).
Второе утверждение доказывается по аналогии, но проще. У приведенного предложения есть непосредственное следствие, относящееся к единичному элементу.
Следствие 3.2.30. Пусть б — замкнутое по норме дифференцирование С*-алгебры 21 с единицей 11. Следующие условия эквивалентны.
(1) существует положительный обратимый элемент А (j D(б);
(2) И 6 D (б).
В частности, если б определено плотно по норме, то D ? D (б). Доказательство. (2) =>¦ (1). Берем А = 1.
(1) => (2). Из предложения 3.2.29 следует, что А (еИ + Л)-1 ? D (б) при всех е >¦ 0 и
б (Л (811 + Л)"1 = —е (811 + Л)-!б (Л) (811 + А)'1.
Далее, сеть Л (еИ + Л)'1 сходится по норме к 11, но
Пт II б (Л (еИ + Л)-1||< ТЕГ е || Л'11|21| б (Л) || = 0.
?-;0 е->0
Тем самым 11 ? D (б), так как б замкнуто, и б (11) = 0. Если D (б), область определения б, плотна по норме, можно выбрать В ? D (б) так, чтобы В = В* и || 11 — S || < 1. Легко проверить, что такой элемент В положителен и обратим.
Следствие 3.2.30 упрощает исследование замкнутых и плотно по норме определенных дифференцирований б, потому что оно позволяет без ограничения общности считать, что в 21 существует единица 11 и 11 ? D (б). Ведь в случае С*-алгебры без единицы всегда можно расширить б до замкнутого по норме дифференцирования 6 алгебры 21 = СИ + 21, полагая D (6) = СИ + D (б) и
