Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(?3, AQ) = (Q, a (A) fi) = (U*Q, AU*Q) в сочетании с теоремой 2.5.31 приводит к равенству UQ = Q. Зная действие U, указанное явно в теореме 2.3.15; L/A1/,4AQ = Л1/,4а (A)Q, и учитывая перестановочность а и Of, получаем
?/Al7A1/4AQ = Д1/4а (а, (A)) Q = Д1/4а, (а (A)) Q = Дг/г/Д1/4А?2.
3.2. Теория для случая алгебр
237
Но множество Л^ЭДШ плотно, как вытекает из предложений 2.5.26 и 2.5.28. Поэтому U коммутирует с Alt. Наконец, выбрав в качестве А целый аналитический элемент для модулярной группы at, легко заключить, что =
= A1/4?MQ. Значит, А|/4МЙ = Д1/4а (A) Q, а, следовательно, UAQ = a (A) Q. Но множество целых элементов плотно, так что теорема Капланского о плотности (теорема 2.4.16) позволяет сделать вывод о справедливости включения ?/3Jt+Q ?= ?= 3K+S?, и аналогичный вывод верен для U*.
Критерий, указанный в теореме 3.2.18, будет полезен в пункте 3.2.5 для описания групп автоморфизмов при наличии инвариантных состояний.
Отметим, что без второго условия инвариантности в (*), О; » а = а о а(, теорема неверна, так как существуют такие унитарные элементы U, что UQ = ?2, UZP = 9, но UШ+?2 3= SE ЗИ+Q. Вот простой пример: возьмем Щ = Ш 0 Ш', Qjj =
= Q ® Q и U = ( j 0|. Тогда UWU* =31', UQ^ =
и поэтому U39 = д9, где 3* — естественный конус, соответствующий [31, Ц^}. Однако U31+Q = 31^ Q = A1/291+Q, а последний конус обычно не совпадает с 9l+Q.
В заключение этого пункта укажем, что помимо рассмотренных нами есть и другие интересные положительные отображения. Следствие 3.2.13 показывает, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа положительных отображений С*-алгебры, сохраняющих единицу, автоматически оказывается группой *-автоморфизмов. Это уже не так, если вместо групп рассматриваются полугруппы. Существуют сильно непрерывные полугруппы {«*}<?R указанного выше типа, которые удовлетворяют обобщенному неравенству Шварца
at (A*A) at (A)*at (А)
и которые нельзя расширить до групп *-автоморфизмов. Следующий пример, встречающийся в теории диффузии, иллюстрирует такую возможность.
Пример 3.2.20. Пусть Ж есть С*-алгебра С0 (R) + СИ ограниченных непрерывных комплекснозначных функций на вещественной прямой, снабженная sup-нормой. Введем отображение / g [R+ i—> at, полагая
(atf) (x)U2ntr^\dye-~^~^f(y), 0,
I /(*). t = 0.
Стандартными рассуждениями устанавливается, что это Са-полугруппа с инфинитезимальным генератором—d?/dt2. Поскольку ядро оператора at положительно, эта полугруппа сохраняет положительность, а обобщенное неравенство Шварца верно в силу предложения 3.2.4, так как Й абелева.
238
¦3. Группы, полугруппы и генераторы
3.2.2. Сбщие свойства дифференцирований
В предыдущем пункте мы охарактеризовали однопараметрические группы *-автоморфизмов С*-алгебр и алгебр фон Неймана, указав ряд присущих им свойств сохранения положительности. Далее мы рассмотрим характеристические свойства генераторов таких однопараметрических групп. В разделе 3.1, где изложены результаты, относящиеся к группам операторов в банаховых пространствах, мы видели, что естественным образом возникает разделение групп на разные типы, отличающиеся свойствами непрерывности. Теперь, рассматривая банаховы алгебры, мы можем вдобавок учесть и возможные отличия в алгебраической структуре пространства. Наше обсуждение будет охватывать равномерно, сильно и слабо непрерывные группы, действующие как на С*-алгебрах, так и на алгебрах фон Неймана. Подчеркнем, однако, что понятие Co-группы, т. е. слабо* непрерывной группы на алгебре 51, определено только тогда, когда 51 сопряжена как банахово пространство своему предсопряженному. В этом случае 91 автоматически будет алгеброй фон Неймана по теореме Сакаи (п. 2.4.3). Кроме того, можно показать (см. пример 3.2.36 для случая 9? (§)), что С0-группа, т. е. сильно непрерывная группа *-автоморфизмов алгебры фон Неймана Ш, автоматически обладает свойством равномерной непрерывности. Таким образом, С0-группы сочетаются с С*-алгебрами, С0*-группы — с алгебрами фон Неймана, а равномерно непрерывные группы — с этими обеими алгебраическими структурами.
В данном пункте мы в основном анализируем свойства инфи-нитезимальных генераторов групп автоморфизмов. Это свойства двух сортов. Можно получить условия замыкаемости генераторов, можно также развить функциональное исчисление на области определения генератора. Обе группы фактов интересны и применяются в последующей характеризации групп автоморфизмов, а также при изучении устойчивости групп. При исследовании генераторов более всего используется то их свойство, что они являются дифференцированиями, это свойство служит инфините-зимальным выражением свойства
а( (А В) — at (A) at (В)
группы автоморфизмов R t—> Свойства непрерывности
группы сказываются на топологических свойствах генератора; большая часть результатов этого пункта относится к генераторам Co-групп, т. е. к операторам замкнутым и плотно определенным по норме.
